考研数学线代基础03学霸笔记

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考研数学线代基础03学霸笔记

第三讲 矩阵的初等变换与线性方程组

一、初等变换

1.初等变换、矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形

矩阵之间的等价关系

反身性

A~A

对称性

若A~B，则B~A

传递性

若A~B，B~C，则A~C

2.初等矩阵及其逆

（1）初等矩阵的定义、作用、性质

（2）初等矩阵的逆

3.可逆矩阵相当于若干个初等矩阵的乘积

4.初等变换求逆矩阵，解矩阵方程

解题通法

两个矩阵并在一个括号内（竖排或者横排）将括号内某一个化成E（尽量用这种常规方法不易出错）

二、矩阵的秩

1.秩的定义

对矩阵进行了初等行变换，变成一个行阶梯形矩阵，非0行就是矩阵的秩

把矩阵看成齐次线性方程组的系数，秩就是里面真正存在的方程的个数

三种理解

2.行阶梯形求秩

3.秩的结论

特殊结论

列满秩的矩阵右乘一个矩阵，则结果矩阵的秩等于右边乘的那个矩阵的秩

三、线性方程组的解

1.解的判定

2.具体方程组的求解