考研数学线代基础06学霸笔记

这是一篇关于考研数学线代基础06学霸笔记的思维导图，主要内容有一、对称矩阵的对角化二、二次型及其标准形三、二次型的正定性（考试时候不会考太难)。

考研数学线代基础06学霸笔记

• 第六讲 合同对角化与二次型
  • 一、对称矩阵的对角化
    • 1.实对称矩阵的性质
      • 性质1 对称矩阵的特征值为实数
        • 举例
          • • 所属题型：给出矩阵方程求行列式
            • 所属题型：抽象矩阵的行列式
              • 化为乘法
              • 考虑特征值
      • • 与其他知识点的联系
          • 实对称矩阵的线性无关的特征向量是正交的（更加特殊的线性无关）
        • 考察方向
          • 实对称矩阵最重要的性质，凡是考到实对称矩阵必考,但只有向量的线性无关考证明题，正交不考证明题
        • 两个向量正交的判定方法
        • 抽象实对称矩阵求特征向量
          • 三不等特征值，特征向量知二求一
            • • 形象化理解
          • 特征值两同一异，特征向量知二求一
            • • 形象化理解
          • 特征值两同一异，特征向量知一求二
            • • 形象化理解
          • 三不等特征值，特征向量知一求二（最特殊且最易混淆）
            • 若要考察，必加上其他条件
            • 特殊情况：方程组求解出来的不是对应的特征向量
            • • 形象化理解
              • 易与（3）混淆精析精讲
                • （3）的情况中，后两个特征向量决定一个平面，这个平面就是他们这两个特征向量的活动空间，他们在这个平面内只要满足不共线条件就可以了。然而（4）不一样，不一样就在于后两个特征值也是不同的，这就导致他们的向量空间是两条直线，他们只能分别在两条互相垂直的直线里活动，虽然说这两条直线互相垂直的时候也形成了一个平面但是（4）中的两个特征向量并不是在这个平面的整个平面内都可以活动，而是只能在这个平面内的某两条互相垂直的直线内部活动，如此，这个平面内可以找到很多互相垂直的直线，究竟是哪两条呢？是说不清楚的！所以（4）的方程解出来也不一定是所求的特征向量。
          • 前提是：已知的两个向量必须无关才可以求第三个向量
            • 形象化理解
            • 思路模板
              • 1.设出未知的特征向量
              • 2.根据特征值之间的关系罗列出内积方程组（着重强调建立已知量与未知量的关系）
              • 3.举例已知特征向量（按照0、±1、±2先行尝试）代入计算得到方程组
                • 注意要满足内积方程组和特征值之间的关系
              • 4.根据新得到的方程组或者它的矩阵来写出未知特征向量
      • • 实对称矩阵一定可以相似对角化（即一定存在n个线性无关的特征向量）
    • 2.正交矩阵与合同对角化
      • （1）正交矩阵（施密特正交化）
        • 正交矩阵
          • 概念
          • 证明
            • • 注意单位向量的概念和模长
        • 施密特正交化（主要针对重根的时候使用）
      • （2）合同的定义
      • （3）合同对角化的步骤
    • 经典例题
  • 二、二次型及其标准形
    • 1.二次型及其系数矩阵
    • 2.正交变换法化二次型为标准形
      • • 往往考察给标准型反推二次型中的参数
        • • 区分清楚三个概念
            • 二次型
            • 规范型
              • 系数只有0与±1
            • 标准型
            • 互化（大题中要写清楚这一步）
      • 经典例题
        • • • 进一步化成规范型
    • 3.配方法化二次型为标准形
      • 经典例题
        • 一般形式
        • 特殊形式（没有平方项）
      • 注意点
        • 配方法所用的矩阵必须是可逆矩阵
      • 配方技巧
        • 观察交叉项中，先配数量少的那个x
          • 若交叉项中各个x数量均等，则任意一个先配
  • 三、二次型的正定性（考试时候不会考太难）
    • 引入的概念
      • 正/负惯性指数
    • 定义（用来判定是不是正定性二次型）
    • 定理（等价的代换条件）
      • • 引申推论（回归到特征值问题上）
          • • 注意点：是主子式，也就是主对角线方向上的子式
            • 证明A为负定的情况
              • • 利用正定来反推负定 利用好理解的情况来反推不好理解的情况
    • 经典例题
      • • 挖坑题：直接给的暗含不可逆矩阵