图像与系数的关系

二次函数之图像与系数的关系导图笔记，讲述了与对称轴有关、与顶点有关、abc取值范围、x轴交点个数等方面内容。

图象与系数的关系

• ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
  • 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
  • |a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
• ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
  • 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；
  • 左同右异
  • 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．
• ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
• ④x轴交点个数．
  • 有两个交点 Δ＝b2-4ac＞0
    • • b2﹣4ac或4ac﹣b2取值范围
        • Δ= b2﹣4ac＞0；
        • 4ac﹣b2＜0；
        • 4ac＜b2；
        • b2＞4ac
      • 方程ax2+bx+c＝0的两个根是
        • x1＝﹣1，x2＝3
      • 当y＞0时，x的取值范围
        • ﹣1≤x＜3
      • 当x＜0时，y随x增大而增大
    • • ＜0
      • OA•OB＝﹣
  • 有一个交点 Δ＝b2-4ac＝0
    • • ∵ y＝ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝ b2﹣4ac＝0
      • ∵ y＝ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝b2﹣4a（c+2）＝0，∴b2﹣4ac＝8a＞0
  • 没有交点
    • Δ＝b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
• abc取值范围
  • 图象经过原点
    • a＜0，b＜0,c＝0
      • abc＝0
      • ab＞0
    • ∵x＝1时，y＝a+b+c＜0，x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∴（a+b+c）（a﹣b+c）＝（a+c）2﹣b2＜0∴（a+c）2＜b2
    • x=-2
      • 4a﹣2b+c＞0
    • x=-3
      • 9a﹣3b+c＞0
  • 当x=-1时,y=a-b+c
    • 若a-b+c>0,则当x=-1时,y>0
  • 当x=1时,y=a+b+c
    • 若a+b+c>0,则当x=1时,y>0
  • 图象不经过原点
    • a＜0，b＞0,c＞0
      • 同号得正，异号得负
        • abc＜0
    • a+b+c取值
      • 当x=1时,y=a+b+c＞0
    • a﹣b+c取值
      • 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴b﹣a＞c
    • 4a+2b+c取值
      • 由对称知，当x＝2时，函数值大于0， 即y＝4a+2b+c＞0
• 与顶点有关
  • • ∵抛物线的顶点坐标为（1，n）， ∴＝n， ∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n）
    • ∵抛物线与直线y＝n有一个公共点， ∴抛物线与直线y＝n﹣1有2个公共点， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根
    • ∵抛物线的顶点为（1，a+b+c ） ∴x＝1时，函数y的最大值为a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴a+b+c≥am2+mb+c， 即a+b≥m（am+b）
• 与对称轴有关
  • a和b
    • ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣， ∴﹣，b＜0， ∴b＝3a， 又∵a＜0，b＜0， ∴a＞b，
  • a和c
    • • 与对称轴有关
        • -2a=b
      • 当x=-1时,y=a-b+c=0
      • 3a+c=0
      • 与对称轴有关
        • ∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a
        • ∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0， 3a＜﹣c，