导图社区 考研数学高数基础03学霸笔记
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考研数学高数基础03学霸笔记
教材高数03 导数与微分
重点是各类函数求导
可导就是可微
一、导数的概念及意义
1.函数的变化率
易错点
△要理解为变化量而不是增量
△x既趋于0左边,又趋于0右边
书写形式
求(一个点的)导数用定义法——不同书写形式可能解题效果不同
必有固定值
相关题型
经典小题
需要保证“一静一动”
刘金峰老师点拨
当出现一个点的导数的时候必用导数的定义
什么叫一个点的导数?
A项错在只能证明一侧导数存在
B项没有固定的点
引申疑问
减去f(a)再加上
出现了问题——能不能拆?
若拆开就是默认为极限存在
数形结合理解
举一个特例
该点是可去间断点
该点是跳跃间断点
另外一种理解
B项只能得到f(a+h)的导数,而导函数未必连续
C项也没有固定的点(但比B项强在书写式子上包含了左右两侧)
D对
证明题
2.切线问题与单侧导数
几何描述
重要思想:先找到一条割线再研究无限趋近于
单侧导数
导数存在的充要条件是左右导数都存在且相等
左右导数存在但不等的情况
启示
有尖点的地方必定不存在导数
有光滑过渡的地方存在导数
考研数学中“光滑”意味着“无限可导”
特殊情况
这不叫数学上的“光滑”
这启示我们,数学上的“光滑”不是我们一贯想象的那样
3.切线方程与法线方程
内容
老师点拨: 切线方程必记,为数三高频考点 法线方程必记,为数一、数二高频考点
导函数的极限值不一定等于导函数值(导函数不一定连续)
除非明确说明导函数连续
二阶可导说明一阶导函数连续
4.可导与连续的关系
可导是连续的上层建筑
洛必达法则可用否?
②举例
老师锐评——导函数不连续只可能是振荡间断点的情况(可去、跳跃、无穷不存在原函数)
5.二阶、三阶导数
二、函数求导
1.基本求导公式
2.四则运算
记得要推导一下(3)
推广
(3)推广到三个乃至n个
3.反函数求导法则
前提
必须是一一映射函数
典型例题
学习反思
注意在适当的时候把y写成关于x的形式
经典易错题
老师锐评
反函数等于原函数倒数没有错但是要搞清楚对应的取值
此题变形——函数值不会轻易给出,而是会给出式子让你求解
搞清楚背后的一一对应关系
实质上错误产生的原因就是——一一对应关系没搞明白
4.复合函数求导法则
5.隐函数求导法则
直接求导法
注意点
注意把y看成y(x)
注意是对谁求导
适用范围
适用于一元函数
类型
给出一个包含一次方的x、y的式子
两边求导
给出一个幂指函数形式
指数化
两边取对数+两边求导
6.参数方程求导
数一数二高频考点 数三仅作了解
参数方程二阶求导是重点
以后还会结合曲率考察参数方程二阶求导
7.相关变化率
数学一、二重点,数学三了解
三、高阶导数
重要考点
考法
找规律
莱布尼兹公式
泰勒公式
四、微分
核心思想——以直代曲
1.概念
重要思想
存在切线=可导=可微
这是一元函数
2.微分的几何意义
3.微分的计算与凑微分
微分的计算
凑微分
不要忘了加上常数C
凑微分不换上下限