导图社区 考研数学概率基础01学霸笔记
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编辑于2022-04-04 22:48:20考研数学概率基础01学霸笔记
概率基础01概率论的基本概念(数学一、三)
主要掌握基本概念、基本公式、回忆高中概率论
教材概率01事件与概率
一、基本概念
类比高中时代学过的集合和元素
1.随机试验
考研只考摸球问题
特点
(1)可以在相同条件下重复地进行;
(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;
(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现
举例
(1)掷一次骰子观察点数.
(2)抽一只灯泡测试寿命.
2.样本空间
定义
随机试验的所有可能结果组成的集合.
举例
掷出(1,2,3,4,5,6)
3.样本点
定义
样本空间的元素,即随机试验的每个结果.
举例
6个样本点:掷出1,掷出2.....,出6.
4.随机事件
定义
包含随机试验若干结果的集合,即样本空间的子集:习惯上记作事件A,B,C...
特殊概念
基本事件
由一个样本点组成的单点集,称为基本事件
必然事件
不可能事件
举反例常用到
5.事件发生
定义
在某次试验中,随机事件里的某一样本点出现时,称这一事件发生
重要理解点
用画圈圈办法理清思路
A事件发生则B事件必然发生
A包含于B,也可能A=B
6.事件的概率
定义
分类
离散型
出现的概率穷举出来相加即可
连续型
积分思想——积分面积表示事件的概率
二、古典概型与几何概型
1.古典概型
特点及公式
援引知识点
分类与分布
分类讨论用加法
分布进行用乘法
排列组合计算
经典例题
引出知识点
考试中的抽样方法
放回抽样
放回抽样背景下: 第一次抽住红球,第二次抽住红球=一次抽住两个红球
不放回抽样
概率不一样
假设检验
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上儿乎是不发生的”(称之为实际推断原理)
2.几何概型
数学三不考
特点
样本点个数无限
等可能
测度(长度、面积、体积)/总测度
三、事件关系与概率计算公式
1.包含关系
2.积事件与和事件
(1)积事件
A、B相交部分
(2)和事件
A、B相并
加奇减偶
画圈圈即可知
区分易混概念
都不发生
不都发生
意思是去掉“都发生”的情况
(3)运算律
德摩根律——长杠变短杠,开口换方向
德摩根律的逆用
3.互斥关系与对立关系
互斥关系
实质就是不相容,交集为空集
对立关系(特殊的互斥)
实质就是交集为空集,并集为全体
4.差事件
5.条件概率
定义
A在这里相当于全集地位了
也可以理解为B在A中的占比成分
注意点
条件概率的条件不可以去掉
条件概率与普通概率的关系
普通概率相当于“放大版”的条件概率
由此产生的计算巧法
按照普通概率写出来,再替换上背景条件即可
6.乘法公式
7.全概率公式
已知原因求结果
定义
意义——直接计算不好算可以间接计算
方法实质——找齐所有与A有关的事件,计算条件概率
形象化理解
定理
8.贝叶斯公式
已知结果求原因
意义——找出引发A的最大的原因
即后验概率
相关概念
先验概率
什么条件都没有的情况下
后验概率
已知一些条件的情况下
形象化理解
以前常结合起来考大题,现在基本不考
虽然不考但是有助于理解的题目
四、独立性
定义
引发的易混点
互斥事件与独立事件的区别?
互斥事件不可以同时发生更不会满足独立事件所满足的等式
巧记为——互斥事件即互相排斥
独立事件满足的等式
理解时候万万不可以凭感觉
独立事件极端情况
两个圈圈的概率都是1/3,但是恰恰相交部分概率是1/9
由此可知,独立实质上是特殊的相容
同时也是易错点,只有独立事件可以用此公式
A、B互不影响是指概率互不影响而不是事件互不影响
互斥事件为不独立事件
援引知识——不独立事件
包含关系
A包含于B则不是独立事件
互斥关系
学习随机变量举不独立反例常用
因为A发生则B不发生,互相影响
定理一
本质就是结合条件概率进行说明独立事件的“概率独立性”
定理一的变形
定理二
三事件互相独立的定义
仅有前三个式子只能说明是三事件两两独立
四个式子合起来才是三事件的相互独立
如果已知两两独立则最后一个式子就是相互独立的充要条件
题型
结合生活类题
扑克牌类题
生活常识必须知道
就算把其中一个当成另一个的发生条件,也不改变计算概率
色子类题
投球问题(独立重复实验)