导图社区 考研数学高数基础12学霸笔记
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编辑于2022-04-04 22:52:00考研数学高数基础12学霸笔记
教材高数12 数项级数
本章的判定方法除了定义法是充要条件之外其他的全是充分条件
数一、三
背景知识点
无穷级数
无穷级数
与数列相似,即数列的无穷项的加和
研究的都是从1到∞
数项级数(通项是常数)
函数项级数(通项是函数)
一、概念
定义
收敛的必要条件
通项若不趋于0则是发散的
题型
判断级数的敛散性
方法一(定义法)
适合于前n项和比较方便求解的
经典三类型
无穷级数
等比级数
调和级数
1/n正好处于临界情况(趋于0的速度不够快): 对于p级数而言,分母幂次比1/n更大的(如:n平方分之一)是收敛的,反之就可能是发散的
方法一
思路产生
利用收敛数列前n项和与前2n项和的差值趋向于0的特点
为何不用前n项与前n+1项?
因为相减后不能凑出来“一组可以用一定的方法使得相减产生的数列能够让项数与通项产生容易计算的结果”的情况
①
用放缩法进行计算
②
思路产生
通项的形式很像定积分计算的一些小题
通过上下同除以n变形来接近定积分的几何意义
1/n的意义就是小条条的宽度(即dx)
用积分的知识来求解
方法二(积分判别法)
类比的都是无穷限上的反常积分
内容结论
方法推导
核心还是小条条面积比大小
相关知识点——p积分
探讨p级数与p积分之间的敛散性关系
探讨对数p级数与对数p积分之间的敛散性关系
二、性质
实质就是极限问题,所以性质可以类比极限性质
性质2反过来不一定成立,即收敛级数拆开就不一定是收敛的
补充知识点
性质4特例
有正有负,通项不趋于0,是发散的
不要潜意识里在数列中加上很多括号并认为是收敛的,加括号后就不是原来的数列了
三、正项级数敛散性的判定
数一考查较少,数三高频考查选择题
补充知识点
数项级数根据通项的符号分类
第一类
符号恒为正或恒为负叫做正项级数
un可以取0
第二类
符号有正有负有规律交错的叫做交错级数
第三类
符号正负排列无规律叫做一般级数
1.参照级数(找一个已知敛散性的级数进行对比)
(1)比较审敛法
抽象级数常用
推论(基于性质1、3)
即只要从某一项开始有恒定的大小关系规律就可以了
换一种表达形式
出现该定理是意料之中
2.自身比较
比值审敛法
达朗贝尔判别法
ρ=1情况为何是不确定的?
因为1是极限
经典例子
根值审敛法
柯西判别法
经典例题
分析步骤里出现了两个结果,表示极限不存在
极限审敛法(了解即可)
实质还是比值审敛法
将乘进来的n或者n的p次方写到分母位置即现原形
解题方法优先顺序
放缩法>比较审敛法(抽象级数常用)>比值审敛法>根值审敛法
四、交错级数敛散性的判定
莱布尼茨定理
un不可以取0
一旦交错级数中出现了某一un为0,那么就不能叫做“交错”了
解题技法
若加绝对值后收敛
那么原交错级数一定是收敛的
若加绝对值后发散
那么就用莱布尼茨定理判定
判定符合则是收敛
判定不符合
回归定义、性质尝试拆分出收敛的级数
通项若不趋于0则是发散的
经典例题
交错p级数是小题中举反例最常用的: 如不是正项级数却用了正项级数的判定方法,则反例就举交错级数 本章知识点反例总结: 通项为1,-1,0,(1-1)或者1/n,p级数,对数p级数,交错p级数
第二步,不要糊涂了(是先用绝对值再用莱布尼茨定理)
条件收敛
条件就是保持原样
是弱收敛,即加了绝对值是发散,去掉绝对值变收敛(原本就是收敛)
绝对收敛
是强收敛,原本收敛,加了绝对值还是收敛
五、一般级数的敛散性
主要方法——加绝对值并放缩、比较审敛法
性质法就是
加、去绝对值
加、去括号
加、去一个收敛的
改变有限项
经典例题
若正项级数收敛,则任意子级数也收敛
放缩法不仅仅包括分子分母的变大变小也包括均值不等式
为何③可以想到均值不等式?
因为所求与已知相差一个平方的“鸿沟”
经典题型总结
经典易错题
两项相减类型
不要进行分子有理化,那样会变成另外一串数列
分数模样类型
分数模样长相的题一般用比值审敛法
出现上下同时有n的n次方类型的要想到凑重要极限
出现三角函数类型
一般都要想到通过无穷小量近似来转化
出现n次方类型
求解中出现了n的1/n次方类型不要怕,化为指数形式
容易想当然的
调和级数是发散的而不是收敛的
调和级数变形
看见p积分、p级数类型却不想到其性质,一味想当然
看见这个未想到p级数却一味运用收敛必要条件认定其为收敛的(即通项趋于0)
出现此错误的深层原因为
将收敛的必要条件当成了充要条件,认为通项趋于0可以推导出收敛
真正正确的运用
通项不趋于0的必定是发散的
长得像对数p级数但却不是的
加绝对值之后的产物并不是对数p级数
不区分是正项级数还是交错级数,混用方法