涉及函数的基本性质

涉及函数的基本性质，基本函数的类型;集合与集合关系：A包含于B-则A为B的子集或等于B；A包含B-则B为A的子集或等于A.

f（x）=y

• 集合
  • 常见集合
    • Φ空集 N自然数 Z整数 Q有理数 R实数 Z+正整数 Z-负整数
      • 特殊集合
        • P(A) 集合A的幂集，指A的所有子集的集合 |A| 集合A的点数 M+正数 M*除去0的集合
  • 元素与集合的关系
    • ∈，∉
  • 集合与集合关系
    • ⊆
      • 包含于
        • A包含于B-则A为B的子集或等于B
    • ⊇
      • 包含
        • A包含B-则B为A的子集或等于A
    • ⫋，⊂
      • 真包含于
        • A真包含于B-则A为B的真子集，若B={1，2}，则A={1}或{2}或空集
    • ⊄
      • 不包含于
  • 集合运算
    • ∪
      • 并集
    • ∩
      • 交集
    • /
      • 差集
        • 从中刨去，当B∈A时称为余集
    • ×
      • 直积
        • A×B={(x,y)|x∈A，y∈B}
    • P(A)
      • 集合A的幂集
    • |A|
      • 集合A的点数
• 函数本质上 是两个集合及其映射关系
  • f
    • 表达X,Y间的映射关系
    • f(x)表示函数在x处的值
  • x
    • 自变量
    • 定义域
      • 区间
        • 邻域
          • U（xo，δ）={x||x-xo|<δ}
          • 理解为以xo为中心，δ为半径的区间
          • 去心邻域
            • 不包含xo的邻域
        • 常表示定义域
      • 定义域的常见约束
        • 分母≠0 √￣>0 lgx,x>0
        • 三角函数 tanx，x≠kπ+π/2 cotx，x≠kπ secx，x≠kπ+π/2 arcsinx,arccosx，-1<=x<=1
  • y
    • 因变量
• 函数特性
  • 有界性
    • 无论x取何值，始终有A<=f(x)<=B
    • 仅有上限或仅有下限的函数也是无界函数
    • 证明
      • 可以将数扩大
      • 能证明出比一个数小就行 常有三角函数≤1
    • 常见有界函数
      • 三角函数
  • 单调性
    • 如果对任意x1，x2∈D，当x1<x2时 恒有f(x1)<f(x2)或恒有f(x1)>f(x2) 则称函数在D上单调
    • 证明
      • f(x1)-f(x2)>0 f'(x) f(x1)/f(x2)<1
  • 奇偶性
    • 奇：f(-x)=-f(x)
    • 偶：f(-x)=f(x)
    • 奇偶函数定义域对称
  • 周期性
    • f(x+a)=f(x)
    • 有的函数不存在最小周期
      • D(x)={1，x∈Q {0，x∈R\Q，狄利克雷函数
• 常见函数
  • 基本初等函数
    • 常函数
    • 幂函数
      • y=x^a
    • 指数函数
      • y=a^x
    • 三角函数
      • y=sinx,y=cscx（余割 y=cosx,y=secx（正割 y=tanx,y=cotx（余切
        • 倒数关系
  • 初等函数
    • 由基本初等函数经有限次四则运算及复合运算得到的函数
  • 反函数
    • 反函数关于x=y对称
    • 反函数存在的前提
      • 定义域值域一一对应
      • 即正反函数都能满足单值对应法则
      • 单调必有反函数
    • 对数函数
      • y=lnx
        • 反函数
      • lnMN=lnM+lnN lnM/N=lnM-lnN lnM^P=PlnM
    • 反三角函数
      • y=arcsinx
      • y=arccosx
      • y=arctanx
  • 初等函数的分解
    • 即将复合函数分解为简单函数
    • 例
      • y=x^x →y=e^xlnx → {y=e^u {u=xlnx
  • 其他函数
    • y=[x],取整函数
      • f(2.9)=2
    • | 1， x>0, y=sgnx={0, x=0, |-1, x<0
    • D(x)={1，x∈Q {0，x∈R\Q，狄利克雷函数
  • 参数方程
    • 相关变化率
      • x，y之间存在某种关系，且x，y都是变量t的函数 则dx/dt与dy/dt之间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率
      • 即用dx/dt的变化率带入微分方程可得dy/dt的关系