人教数学必修一(B版) 第二章等式与不等式

人教数学必修一(B版) 第二章等式与不等式知识梳理，包括等式的性质与方程的解集、方程组的解集、不等式及其性质、一元二次不等式的解法等等。

人教数学必修一(B版)

• 第二章 等式与不等式
  • 2.1 等式
    • 2.1.1 等式的性质与方程的解集
      • 等式的性质
        • 可加性
          • 等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍然成立
        • 可乘性
          • 等式的两边同时乘以一个不为零的数或代数式,等式仍然成立
        • 对称性
          • 等式的左右两边互换,所得结果仍是等式
        • 传递性
          • 与同一个数或代数式相等的两个数或代数式也相等
      • 等式的分类
        • 含字母的等式
          • 字母取任意实数都成立的等式
          • 字母取某个(些)实数才成立的等式
        • 不含字母的等式
      • 恒等式
        • 一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式
      • 十字相乘法
        • 对任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab.可以利用这个恒等式进行因式分解 给定式子x²+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则x²+Cx+D=(x+a)(x+b)
        • 对任意的x,a,b,c,d,都有(ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bd 利用这个恒等式,可以探讨Ex²+Fx+G的因式分解方法. 如果能找到a,b,c,d,使得E=ac,G=bd,且F=ad+bc,则 Ex²+Fx+G=(ax+b)(cx+d)
        • 十字相乘法详细解决办法可以去我主页找到思维导图(不久后会更新)
      • 方程的解集
        • 方程:含有未知数的等式,叫方程;
        • 方程的解(或根):能使方程左右两边相等的未知数的值;
        • 方程的解集:一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
        • 解方程:求方程解的过程叫解方程
    • 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
      • 一元二次方程的解集
        • 一元二次方程的定义
          • 形如ax²+bx+c=0(其中a,b,c是常数,且a≠0)的方程为一元二次方程
        • 一元二次方程的解法
          • 直接开平方法
            • 方程x²=t (t为常数) 的解集
              • a.当t＞0时,解集为
              • b.当t=0时,解集为{0}
              • c.当t<0时,解集为
            • 方程(x-k)²=t 的解集
              • a.当t>0,解集为
              • b.当t=0时,解集为{0}
              • c.当t<0时,解集为
          • 配方法
            • 事实上,利用配方法,总是可以将ax²+bx+c=0(a≠0)化为(x-k)²=t的形式
              • 具体推导过程见百度百科-配方法
          • 公式法
            • 把方程化为一般形式:ax²+bx+c=0(a≠0)
            • 求出Δ=b²-4ac.
            • Δ=b²-4ac的符号情况决定了方程的解集情况
      • 一元二次方程的根系关系
        • 若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根是 即一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
        • 设方程x²+px+q=0的两个实数根分别为x1和x2,则x1+x2=-p,x1x2=q
    • 2.1.3 方程组的解集
      • 方程组的解集
        • 一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集
      • 方程组的类型
        • 二元一次方程组
          • 方程组含有两个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.
        • 三元一次方程组
          • 方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
        • 二元二次方程组
          • 方程组中含有两个未知数,含有未知数的项的最高次数为2,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元二次方程组
      • 方程组的解法
        • 代入消元法
          • 变形:将方程组里的一个方程变形,用含有一个未知数的式子表示另一个未知数
          • 代入求解:用这个式子代替另一个方程中相应的未知数,得到一个一元一次方程,求得一个未知数的值
          • 求解:把这个未知数的值代入上面变形的式子,求得另一个未知数的值
          • 写解集:写出方程组的解集
        • 加减消元法
          • 转化:将其中一个未知数的系数化成相同的数(或相反数)
          • 相加减:通过相减或相加,消去这个未知数,得到一个一元一次方程
          • 求解代入:解这个一元一次方程,得到另一个未知数的值,将求出的未知数的值代入原方程组中的任一个方程,求得另一个未知数的值
          • 写解集:写出方程组的解集
  • 2.2 不等式
    • 2.2.1 不等式及其性质
      • 不等式的定义
        • 我们用数学符号"≠",">","<","≥","≤"连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子, 称为不等式
          • 不等式a≤b读作"a小于或等于b",其含义是"a<b或a=b",等价于"a不大于b",因此,若a<b与a=b之中有一个成立,则a≤b成立.
          • 不等式a≥b读作"a大于或等于b",其含义是"a>b或a=b",等价于"a不小于b",因此,若a>b与a=b之中有一个成立,则a≥b成立.
          • 将实际问题中的不等式关系用不等式表示时,应注意实际问题中关键性的文字语言与数学符号间的正确转换.
            • 大于
              • >
            • 小于
              • <
            • 大于或等于
              • ≥
            • 小于或等于
              • ≤
            • 至多
              • ≤
            • 至少
              • ≥
            • 不少于
              • ≥
            • 不多于
              • ≤
      • 实数大小关系的基本事实
        • 实数与数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,一般地,如果点P对应的数为x,那么称x为点P的坐标,并记作P(x).
        • 此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数 （即加上一个负数），相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离．由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a-b与０的相对大小就可以了
        • a－b＜０a＜b， a－b＝０a＝b， a－b＞０a＞b．
      • 不等式的性质及推论
        • 不等式的性质
        • 不等式性质的推论
      • 证明不等式的常用方法
        • 综合法
          • 定义:从已知条件出发,综合利用各种结果,经过逐步推导最后得到结论的方法,在数学中通常称为综合法
          • 综合法处理问题的步骤
        • 分析法
          • 定义:从待证结论出发,不断寻找结论成立的充分条件,最后得到题设的已知条件或已被证明的事实,这种证明问题的方法通常称为分析法
          • 分析法证明问题的思路:
        • 反证法
          • 定义:首先假设结论的否定成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法,反证法是一种间接证明的方法. 比如,要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据假设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设
          • 反证法证明命题的三个步骤
            • 反设:将结论的反面作为假设.
            • 推矛盾:将"反设"作为条件,由此推出和条件或公理、定理等相矛盾的结果.
            • 结论:说明"反设"不成立,从而肯定结论成立
    • 2.2.2 不等式的解集
      • 不等式的解集与不等式组的解集
        • 不等式的解集
          • 一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集
        • 不等式组的解集
          • 对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集
      • 绝对值不等式
        • 绝对值不等式的定义
          • 一般地,含有绝对值的不等式称为绝对值不等式
        • 简单绝对值不等式的解集
          • 一般地,如果m>0,则
          • 一般地,如果m=0,则
            • |x|>m的解集是{x|x≠0}
            • |x|≥m的解集是R
            • |x|<m的解集是∅
            • |x|≤m的解集是{0}
          • 一般地,如果m<0,则
            • |x|>m的解集是R
            • |x|≥m的解集是R
            • |x|<m的解集是∅
            • |x|≤m的解集是∅
      • 数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式
        • 数轴上两点之间的距离公式
          • 一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为AB=|a-b|
        • 数轴上的中点坐标公式
          • 一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即,A(a)B(b),线段AB的中点M对应的数为x,则
    • 2.2.3 一元二次不等式的解法
      • 一元二次不等式
        • 一元二次不等式的定义
          • 一般地,形如ax²+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是"<","≥","≤"等.
        • 一元二次不等式的解与解集
          • 使一元二次不等式成立的x的值,称为这个一元二次不等式的解,其解的集合称为这个一元二次不等式的解集
        • 一元二次不等式的解法
          • 因式分解法
          • 配方法
            • 一元二次不等式ax²+bx+c>0(a≠0)通过配方可变为(x-h)²>k或(x-h)²<k的形式,然后根据k的正负等知识,就可以得到原不等式的解集.
            • 类似地,一元二次不等式ax²+bx+c≥0(a≠0),通过配方可变为(x-h)²≥k或(x-h)²≤k的形式,其解集情况如下表:
      • 分式不等式
        • 分式不等式的概念
          • 分母中含有未知数的不等式称为分式不等式
        • 分式不等式的解法
          • 思路:化分式不等式为整式不等式求解.
          • 一般步骤:
            • 通过移项、通分,化分式不等式为标准形式:右边化为0,左边化为 (f(x),g(x)为关于x的表达式)的形式
            • 将分式不等式转化为整式不等式求解.如下:
      • 高次不等式
        • 高次不等式的定义
          • 最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式,如x(x²-2)>0就是高次不等式
        • 高次不等式的解集
          • 使高次不等式成立的x的值,称为这个高次不等式的解,其解的集合称为这个高次不等式的解集
    • 2.2.4 均值不等式及其应用
      • 均值不等式
        • 算术平均值与几何平均值
          • 给定两个正数a,b,数(a+b)÷2称为a,b的算术平均值,数 称为a,b的几何平均值
        • 算术平均值与几何平均值的几何意义
          • 在数轴上,两个数的算术平均值的几何意义
            • 这两个数在数轴上对应的点的中点坐标
          • 以矩形为背景,两个数的算术平均值、几何平均值的几何意义
            • 当矩形的长、宽分别为a,b时,与这个矩形周长相等的正方形的边长为(a+b)÷2;与这个矩形面积相等的正方形的边长为
        • 均值不等式
        • 均值不等式的几何意义
          • 所有周长一定的矩形中,正方形的面积最大.
          • 半圆上的点到直径的距离不大于半圆的半径
      • 最值定理
        • 已知x,y都是正数
          • 如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值
          • 如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值
          • 两正数积定和最小,和定积最大
• 关于本思维导图用到的LaTeX格式公式
  • \complement
    • 补集符号
  • \varnothing
    • 空集
  • \cap
    • 交集
  • \cup
    • 补集
  • \subseteq
    • 子集
  • \subsetneqq
    • 真子集
  • \in
    • 属于
  • \notin
    • 不属于
  • \complement _{U}A
    • 补集CuA
  • \forall
    • 任意
  • \exists
    • 存在
  • \neg
    • 否定
  • \Rightarrow
    • 推出
  • \nRightarrow
    • 推不出
  • \Leftrightarrow
    • 充要(相互推出)
  • \infty
    • 无穷