数学广角-搭配（二）

数学广角-搭配（二）思维导图，包括理解原理、排列、目标检测例题、简单的组合、复杂的组合、我们的校园等等。

数学广角-搭配（二）

• 理解原理
  • 什么时候用加法？ 从家到学校有3条路线，任选一条都可以 这3条路并没有任何联系。 问：从家到学校有几种方法（几条路线）？ 答：公交车1种+步行1种+自驾车/骑车1种=3种
  • 什么时候用乘法？ 从家到学校，第1次有3条分叉路， 第2次有2条分叉路，第3次有2条分叉路， 我们要经过这3步才能从家到学校。 问：从家到学校有几种方法（几条路线）？ 答：我们分别呈现每一种从家到学校的方法： 第1个分叉路走A路线时，可以有以下几种方案 ADF、AEF、ADG、AEG 第1个分叉路走B路线时，可以有以下几种方案 BDF、BEF、BDG、BEG 第1个分叉路走C路线时，可以有以下几种方案 CDF、CEF、CDG、CEG 做一件事，完成它需要分成3个步骤，做第一步有3种不同的方法，做第二步有2种不同的方法，做第3步有2种不同的方法。那么完成这件事共有3x2x2=12种不同的方法。
• 案例分析
  • 1.小罗有3个苹果，2个橘子，小罗想选一个水果，有多少种选法？ 答： 一共有水果：苹果3个+橘子2个=5个，从5个水果中选一种，就是有5种选法。
  • 2.小罗有3个苹果，2个橘子，小罗想要选一个苹果和一个橘子，有多少种选法？ 答：我们分别呈现每种可能性 当苹果选第1个时，1号苹果+1号橘子、 1号苹果+2号橘子 当苹果选第2个时，2号苹果+1号橘子、 2号苹果+2号橘子 当苹果选第3个时，3号苹果+1号橘子、 3号苹果+2号橘子 最终结果 = 3 x 2 = 6种
  • 3.从三1班到校长室有2条不同路线，从校长室到冯老师办公室有3条不同路线 从三1班到食堂有4条不同路线，从食堂到冯老师办公室有2条不同路线，请问 从三1班到冯老师办公室有多少种不同路线？ 答：分析，从三1班到冯老师办公室，可以有两个方向， 方向1：三1班=>校长室=>冯老师办公室 方向2：三1班=>食堂=>冯老师办公室 方向1和方向2，就好比我们从家到学校的路线，互不相关。这是分类所以它是加法关系。 方向1，三1班=>校长室 共2种方法，校长室=>冯老师办公室 共3种方法 ，这是分步所以是乘法关系。 最终结果 = 2 x 3 +4 x 2 =6 + 8 = 14种
• 排列
  • 列举法： 三只小动物排队，不重复的方法有几种？ 答：共6种 方法1：鼠、猪、猴 方法2：鼠、猴、猪 方法3：猪、鼠、猴 方法4：猪、猴、鼠 方法5：猴、鼠、猪 方法6：猴、猪、鼠
  • 计算法： （1）第1只动物先选时，有3个位置可以选择 （2）第2只动物选择时，就只剩下2个位置可以选择 （3）第3只动物选择时，就只剩下1个位置可以选择 现在我们将这个过程分步画成三1班到冯老师办公室的图来表示 不重复的结果 = 3 x 2 x 1= 6种
• 教材例题
  • 问：用0、1、3、5能组成多少个没有重复数字的两位数？ 列举法：两位数由十位和个位组成，十位不能为0，如图所示，共9种 计算法：因为十位有3种可能，分别是：1、3、5，因为十位占用了一位数之后，个位还有3种可能，两位数十位和个位缺一不可 所以使用计算法，得到不重复的两位数一共 3 x 3=9种
  • 问：把5块巧克力全部分给小丽、小明、小红，每人至少分1块，有多少种分法？ 列举法：如图所示，共6种分法 计算法：已知题目要求，3个人每人至少分1块，也就是说至少要保证其中2个人至少有1块 这种情况只有两种：113和311 所以通过计算法得知，共有 3 x 2 = 6种分法
• 目标检测例题
  • 问：星期日，芳芳要打电话约乐乐出去玩，乐乐妈妈的电话号码是15862257**6，中间两位数是5、0、3、2中两个不同的数字，猜一猜，乐乐妈妈的电话号码有多少种可能？请列举出来。 思考：这个问题就是让我们从5、0、3、2中排列2位不重复数有多少种，而且十位可以是0，因为手机号中间可以是0 列举法：如图所示，共12种 计算法：十位有4种方法，个位有3种方法（因为十位占了一个数，个位就不能再用与十位相同的数字） 结果 = 4 x 3 = 12种
  • 问：4个小朋友排成一队，队长赵鹏站在最前面，其他人可以任意换位置， 一共有几种不同排法？ 思考：这题考察的就是让 王华、张丽、李娜 三个排队，有多少种不同的排法， 与上面我们提到的小老鼠、小猪、小猴子排队方法同理。我们可以参考上面的列举法和计算法 结果是： 3 x 2 x 1 = 6种
  • 按下面要求，从6、3、0、8中选两个数组成没有重复的数字的小数。 （1）小于1的一位小数 分析：小于1的一位小数，必然是零点几。所以：0.6、0.3、0.8 这是列举法 再说计算法：首先小数点前只有1位，且只能是0，所以就1种可能，小数点后就一位，且0位占用了，只能是6、3、8，所以有3种可能， 1 x 3 = 3种 （2）大于5的一位小数 分析：大于5的一位小数，根据题意要么是6点几，要么是8点几，列举法：6.3、6.0、6.8、8.6、8.3、8.0 计算法：小数点前有6和8两种可能，小数点后，有4-1=3种可能（因为小数点前占用一个数），所以结果是 2 x 3=6
• 简单的组合
  • 定义：从n个事物中选取m个事物为一组，不考虑排序，叫组合。
  • 连线法：半袖对应三款下装，共3种方法；长袖对应三款下装共3种方法 总计：3+3=6种方法
  • 例题：两件上装，三件下装，每次各穿1件，有多少种穿法(组合)？ 分析：从5件衣服中，选取2件衣服为一组，不考虑排序，这就是组合。
  • 列表法：这就是笛卡儿积，将来学到这个知道时，记得来看看这里 分析：上装代表所有上衣，下装将每一种可能都搭配到上装中，就形成了列表法 总计：6种方法
  • 计算法：通过我们上面推导的原理知识，可以轻松得到结果： 2 x 3 = 6种
• 复杂的组合
  • 问：5个好朋友，每两个人一组，有多少组？ 连线法： 答：4+3+2+1=10组
  • 计算法：一共5个人，每两个人一组，则每个人都要和其它4个人组合，即每个人会分别出现在4个组合中 所以 5 x 4 =20 种组合，一个组合只有两个人，所以20 ÷ 2 = 10 种组合
  • 拓展题：三1班有5个小朋友很喜欢跳舞 （1）从这4个小朋友中选2个人去比赛，有几种选法？ 答： 5 x 4 ÷2 = 10种 （2）如果规定必须是1男1女，有几种选法？ 答：因为男生3，女生2，所以 3x2=6种 （3）如果老师指定元元和其它另一名小朋友参加比赛 答：元元1个人，和其它4个人组合，1 x 4 =4 种
• 拓展1
  • 笨办法：左图1中一共有多少个长方形？ 对每个格式编号，左图2 单个小长方形：1、2、3、4 2合一：12、43、14、23 4合一：1234 最终结果：9个
  • 数线段： 长2段，宽是2段 写成乘法： （2+1）x (2+1) = 9个 利用了我们一开始讲的加法原理和乘法原理的结合 加法就是不同路线，乘法就是不同步骤的组合
  • 无论你的图有多少个小长方形，此方法通用 长 2+1 = 3 宽 3+2+1=6 结果 = 3 x 6 =18 个
• 拓展2
  • 用一架天平和1克、3克、9克的砝码各一个，放在天平的一边，你知道能一次性称出多少种不同质量的物体吗？ 列举法：共7种分别是 每次放一个（3种）：1g、3g、9g 每次放两个（3种）：1g3g、1g9g、3g9g、 每次放三个（1种）：1g3g9g
  • 用一架天平和1克、3克、9克的砝码各一个，放在天平的两边，你知道能一次性称出多少种不同质量的物体吗？ 列举法：除了以上7种，还有 两个砝码一起用，分别放天平两边： 1克和3克分别放两边，要想平衡：1+2 = 3 所以能称出2克 1克和9克分别放两边，要想平衡：1+8 = 9 所以能称出8克 3克和9克分别放两边，要想平衡：3+6 = 9 所以能称出6克 三个砝码一块用分别放两边： 1克9克和3克分别放两边，要想平衡：1+9 = 3+7 所以能称出7克 1克3克和9克分别放两边，要想平衡：1+3 + 5 = 9 所以能称出5克 3克9克和1克分别放两边，要想平衡：3+9 = 1 +11 所以能称出11克 最终结果是：4个3种+1个1种= 3x4+1=13
  • 注意有坑：做这种砝码在两边时，因数字不同，可能会造成物体重量有重复，这时应该减掉重复的重量。例如将这道题改成2g、3g、7g 放到天平两边，答案就是13-2=11种
• 我们的校园
  • 校园中有两块草坪同样大，长28米，宽16米 如果只有3000元费用，请你提出换草皮建议。
  • 如果两块草坪，用不同的草，6条关系线，3种方案 因为1和4重复，2和5重复，3和6重复
  • 每块草坪的面积：长 x 宽 = 面积 28 x 16 = 448 (平方米) 为什么长方形的面积=长 x 宽 ？ 原理是什么？ 我看到知乎上很多人用 内层、外层、隐形、显形、数据沿袭等“高大尚”的名词来忽悠人。 其实问题很简单。 一个长方形，长3cm，宽2cm，我们在每条边上将每1cm换一个点，然后把这些点连线。 现在长方形里面是由6个小正方形组成的，因为每条边都是1，由6个1平方厘米组成的长方形，面积就是6平方厘米 （长x宽=3x2=6） 这就是所谓的，外层是一个大长方形，内层是6个小正方形，外层是一个显形，内层是一个隐形，长方形相对两条边长相等是数据沿袭是继承关系....（因为长方形是四个角都是直角的平形四边形，平形四边形平形的两条边相等）
  • 好了，费用是3000元，如果换草皮，这张表已经很清楚了