七下思维导图

关于七下的思维导图。重点梳理了平面直角坐标系、二次根式、几何证明这三个方面的知识点。总结非常全面。建议收藏学习。

七年级下册

• 几何证明
  • 几何证明
    • 命题和证明
      • 演绎证明
        • 演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程
        • 不是所有定理都可以进行演绎证明
        • 演绎证明的每一步推理都必须有依据
      • 命题，公理，定理
        • 能界定某个对象含义的句子叫做定义
        • 判断一件事情的句子叫做命题；判断为正确的命题叫做真命题；判断为错误的命题叫做假命题
        • 数学命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项
        • 人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据
        • 有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理
    • 证明举例
      • 而证明的表述，一般是从”已知“开始，推导出”可知“，直到求证的”结论“
  • 线段的垂直平分线与角的平分线
    • 逆命题和逆定理
      • 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题
      • 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题
      • 如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理
    • 线段的垂直平分线
      • 定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
      • 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
    • 角的平分线
      • 定理 在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等
      • 逆定理 在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
    • 轨迹
      • 和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线
      • 在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
      • 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆
  • 直角三角形
    • 直角三角形全等的判断
      • 定理 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L）
    • 直角三角形的性质
      • 定理1 直角三角形的两个锐角互余
      • 定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
      • 推论1 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
      • 推论2 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°
    • 勾股定理
      • 定理 在直角三角形中，斜边大于直角边
      • 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方
      • 勾股定理的逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形
    • 两点的距离公式
      • 如果直角坐标平面内有两点A（x₁,y₁）、B（x₂，y₂），那么A、B两点的距离AB=√（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
• 二次根式
  • 二次根式的概念和性质
    • 概念
      • 代数式√a（a≥0）叫做二次根式.仍然读作“根号a”，其中a是被开方数
      • 在实数范围内，负数没有平方根
      • √a有意义的条件是a≥0
      • 被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式
      • 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式
      • 同类二次根式也可以合并
    • 性质
      • 性质1：√a²＝a（a≥0）
      • 性质2：（√a）²＝a（a≥0）
      • 性质3：√ab=√a•√b(a≥0，b≥0）
      • 性质4：√a/b=√a/√b（a≥0，b＞0）
  • 二次根式的计算
    • 二次根式的加法和减法
      • 二次根式的加减归类于合并同类二次根式
      • 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并
    • 二次根式的乘法和除法
      • 两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变
      • 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变
      • 把分母中的根号化去，叫做分母有理化
      • 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号
    • 混合运算
      • 实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用
      • 运用平方差公式，得（√x+√y）（√x-√y）=x-y
      • 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式
• 平面直角坐标系
  • 概念
    • 在平面内取一点O，过点O画两条相互垂直的数轴， 且使它们以点O为公共原点，这样就在平面内建立了一个直角坐标系。
    • 通常，所画的两条数轴中，有一条是水平放置的，它的正方向向右，这条数轴叫做横轴（记住x轴）；另一条是千值放置的，他的正方向向上，这条数轴叫做纵轴，就做y轴。
    • 记作平面直角坐标系xOy；点O叫做坐标原点（简称原点），x轴和y轴统称为坐标轴。
    • 建立了直角坐标系的平面叫做直角坐标平面（简称坐标平面）
    • 平面内的点都可以用有序实数对来表示。
    • 在平面直角坐标系xOy中，点P所对应的有序实数对（a,b）叫做点P的坐标，记作P（a，b），其中a叫做横坐标，b叫做纵坐标
    • x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0
    • 经过点A（a，b）且垂直于x轴的直线可以表示为直线x=a，经过点A（a，b）且垂直于y轴的直线可以表示为直线y=b
  • 直角坐标平面内点的运动
    • 在直角坐标平面内，平行于x轴的直线上的两点A（x₁,y)、B(x₂,y）的距离AB=∣x₁-x₂∣
    • 在直角坐标平面内，平行于y轴的直线上的两点C（x，y₁)、D(x，y₂）的距离CD=∣y₁-y₂∣
    • 一般地，如果点M(x，y)沿着与x轴或y轴平行的方向平移m(m＞0)个单位，那么 向右平移所对应的点的坐标为(x+m，y)
    • 一般地，如果点M(x，y)沿着与x轴或y轴平行的方向平移m(m＞0)个单位，向左平移所对应的点的坐标为(x-m，y)
    • 一般地，如果点M(x，y)沿着与x轴或y轴平行的方向平移m(m＞0)个单位，向上平移所对应的点的坐标为(x，y+m)
    • 一般地，如果点M(x，y)沿着与x轴或y轴平行的方向平移m(m＞0)个单位，向下平移所对应的点的坐标为(x，y-m)