考研数学高数基础11学霸笔记

这是一篇关于考研数学高数基础11学霸笔记的思维导图，主要内容有一、概念二、性质三、计算。

考研数学高数基础11学霸笔记

• 教材高数11 二重积分
  • 到这一章，数二基础知识完结
  • 一、概念
    • 1.几何意义
      • 研究曲顶柱体的(有向)体积
        • • D表示积分区域
          • 柱体的四个侧棱平行于z轴
          • 这里的z指的是高度
    • 2.物理意义
      • 研究密度不均匀薄片的质量
        • • 这里的密度是面密度
      • 平面面积上的压力(压强可变)
    • 注意点
      • 二重积分具有矢量性，看清楚被积函数的正负
        • 就算是密度的函数也可能为负
          • 最值问题要考虑积分函数的正负
          • 比大小问题
            • • I1包含了全部的正面积，I3包含了一部分的正面积，I2包含了一部分正面积及不小的负面积
  • 二、性质
    • 1.拆分性
      • • 常用于化简
    • 2.积分区域可拆性
      • • 最多只有边界重合意思就是像拼七巧板那样
    • 积分运算常用到
      • 学会逆用
    • 3.比大小
      • • 常用于二重积分比大小
    • 4.估值不等式
      • • 证明题可用
    • 5.二重积分中值定理
      • • 含有二重积分的极限题目里常用到
    • 逐次“推理”出来
    • 6.“绝对值原理”
      • • 证明题可用
    • 小题里常用到
      • 类比定积分来记忆
    • 7.对称性
      • 必考点
      • （1）普通对称性（偶倍奇零）
        • 核心原理
          • 分析对称点处微元的关系
            • 正负关系
        • 注意点
          • 关于x轴对称=y坐标具有对称性
            • 关于y为偶函数
            • 关于y为奇函数
        • 关于x、y均对称（即关于原点对称）
          • • 高中时代的“奇偶函数判断法”
              • f(-x)=f(x)为偶函数
              • f(-x)=-f(x)为奇函数
        • 题型难度升级
          • 隐蔽奇偶性
            • • 用到的知识点
                • 有理化
                • 平方差公式
                • 对数函数运算法则
      • （2）轮换对称性
        • 可能会在大题中的某一步用到
        • 第一种情况
          • 简要概括就是一个区域关于y=x对称
        • 第二种情况（仅作了解）
          • 简要概括就是两个区域关于y=x对称
            • • 两个区域最多只有边界重合
                • 经典例题
  • 三、计算
    • 数学二、三必考大题，数学一的三重积分和线面积分一转化就是二重积分计算
    • 1.直角坐标系
      • （1）X型
        • 形象化理解——纵切面包片
      • （2）Y型
        • 形象化理解——横切面包片
      • 实战演练
        • • 不同计算方法简便程度不一样
          • 该题不可以用“偶倍奇零”是因为被积函数和积分区间不一样
        • • 解题步骤
            • 画出积分区域
            • 判断积分区域的对称性
              • 考研必考，且往往是两项相加，其中一项用到对称性
            • 切割法来转化成可以使用“偶倍奇零”的类型
            • 被积函数（根据特征选择X、Y型）
              • 不同计算方法简便程度不一样
              • 即选择坐标系和积分次序
            • 化为累次积分（实质就是两次定积分整合在一起）
              • 注意点
                • 凑微分不换上下限
                • 每一步计算要看清楚本步计算对应的是x还是y
                • x或者y的幂次变化要注意是否加绝对值符号（同时兼顾积分区间是否都是正数）
    • 2.极坐标系
      • 与圆有关的题常用
      • （最常考）
        • 理论知识
          • • 形象化理解——斜切面包片
            • ②中蓝色面积微元的计算有两种理解方式
              • 近似等于矩形，即蓝色式子
              • 两个面积相减来求出蓝色面积微元
        • 典型例题
      • • 理论知识
          • • 形象化理解——瓦片堆积
      • 交换积分次序
      • （3）6个常见的圆
        • 巧记法
          • 圆心在x轴就是余弦
          • 圆心在y轴就是正弦
        • • 坐标平移法
        • 代数求解法
          • • 特殊情况
          • 相关题型
            • • 两种求解思路都要学会
                • 两个面积相减法
                • 直接求阴影面积法
    • 3.形心（数一二重点，数三了解）
      • 援引拓展知识点
        • 质心（质量中心）（密度不均匀）
          • • 即坐标*质量/总质量
      • 形心（几何中心）（密度处处均匀相等）
        • 必记公式
        • 经典例题
          • • 方法一锐评
              • • 这个计算样式很经典，考研常考，值得记住
                • 计算过程中出现了两项
                  • 一项用凑微分法解决
                  • 另一项用几何意义解决
            • 方法二锐评
              • 形心法逆用
                • 有点小学奥赛题的味道了