格与布尔代数

格：偏序集S中的每两个元素的集合都有最小上界和最大下界，则S是一个格、偏序关系：R是非空集合A上的关系，R是自反，反对称的和传递的，则R为偏序关系。如果x，y存在这种关系，就记作x<=y（是y排在x前面，而不是数值上的那种小于）

格与布尔代数

• 格的定义与性质
  • 格：偏序集S中的每两个元素的集合都有最小上界和最大下界，则S是一个格
    • 偏序关系：R是非空集合A上的关系，R是自反，反对称的和传递的，则R为偏序关系。如果x，y存在这种关系，就记作x<=y（是y排在x前面，而不是数值上的那种小于）
    • 偏序集:集合A和集合A上的偏序关系
  • 对偶命题：原命题中的£换成≥，Ù换成Ú，则原命题的真假性不改变
  • 性质1：格的运算Ù和Ú满足交换律，结合律，幂等律和吸收律
    • aÙb=bÙa
    • (aÙb)Ùc=aÙ(bÙc）
    • aÙa=a
    • aÙ(aÚb)=a
  • 性质2：代数系统<S,*,‘>,如果*和’满足交换律，结合律和吸收律，那么这个代数系统能构成一个格（幂等律可以有吸收律推出）
  • 性质3:a≤bÛaÙb=aÛaÚb=b
  • 性质4（保序）：a≤b且c≤d，则aÙc≤bÙd，aÚc≤bÚd
  • 子格：格<L,Ù，Ú>，S是L的非空子集，Ù和Ú仍对子集的运算构成格，S是L的子格
• 分配格，有补格，与布尔代数
  • 分配格：L是格，并且满足aÙ(bÚc)=(aÙb)Ú(aÙc)
  • 推论：1.小于5元的格都是分配格；2.任何一条链都是分配格
  • 全上界：在格L中存在x，使得其他所有元素都满足≤x，则x为L的全上界,全上界可以记作1
  • 有界格：格+全上界+全下界，记作<L,Ù,Ú,0,1>
  • 补元：对于有界格L中的元素a，存在b，使得aÙb=0和aÚb=1，则称b是a的补元
  • 性质1：有界+分配+格Þ补元唯一
  • 有补格：格中的每个元素都有补元
  • 布尔代数
    • 1.有补+分配+格
    • 2.代数系统的二元运算满足交换律，分配律，同一律和补元律
      • a*b=b*a
      • a*(b o c)=(a*b) o (a*c)（分配）
      • a*1=a,a o 0=a（有全界）
      • a*a'=0, a o a’=1(有补)
  • 性质2：布尔代数满足双重否定和DM律
    • （a‘）’=a
    • （aÙb）‘=a’Úb‘
  • 原子：直接与全下界相连的元素，描述为：0<b≤aÛb=a
  • 性质3：B是有限布尔代数，A是B的全体原子构成的集合，则B同构于A的幂集代数P（A）
    • 推论1：任何有限布尔代数的基数都为2^n
    • 推论2：任何等势的有限布尔代数都是同构的
    • 同态：V1=<S1,*>,V2=<S2,o>，如果存在映射f使得S1集合中的任何元素都满足f（x1*x2）=f（x1）o f（x2），则称f是V1到V2的同态映射
    • 同构:同构中的f是双射（即是单射（对应单同态）也是满射（对应满同态），每个y都有对应的x，并且是一 一对应）
    • 有限布尔代数的“有限”：有全上界和全下界
    • 基数：集合中所含元素个数
    • 等势：基数相同