函数概念与性质

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第三章 函数概念与性质

• 函数的概念及其表示
  • 函数
    • 设A、B是非空的实数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作：y=f(x)，x∈A.
  • 定义域
    • x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
  • 值域
    • 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域
  • 区间
    • 设a，b是两个实数，a＜b，满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]
    • 设a，b是两个实数，a＜b，满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）
    • 设a，b是两个实数，a＜b，满足a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]
  • 构成函数的三要素
    • 定义域
    • 对应关系
    • 值域
  • 函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数
  • 函数的表示法
    • 解析法
      • 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
    • 列表法
      • 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
    • 图像法
      • 用图象表示两个变量之间的对应关系
• 幂函数
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  • 是幂函数的底数，幂函数的系数是1， 比如2不是幂函数
  • 指数可以是任意实数
  • 
• 函数的基本性质
  • 单调性
    • 函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性
    • 一次函数：
      • k>0,单调递增，增函数
      • k<0,单调递减，减函数
      • 若k=0，则y=b,无单调性
    • 二次函数：
    • 反比例函数：
      • k>0,y随x增大而减小
      • k>0,y随x增大而增大
  • 最大（最小）值
    • 若函数f(x)在（a,b]上为增函数，在[b,c)上为减函数，则f(x)在（a,c)上有最大值f(b)
    • 若函数f(x)在（a,b]上为减函数，在[b,c)上为增函数，则f(x)在（a,c)上有最小值f(b)
  • 奇偶性
    • 奇函数
      • f(x)=f(-x),关于轴对称
    • 偶函数
      • f(-x)=-f(x),关于原点对称
    • 若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数