函数和极限

设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式：

函数和极限

• 有界性
  • 定义
    • 子主题
      • 若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D满足m≤f(x) ≤M, x∈D。则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一。
  • 证明方法
    • 利用函数有界性的定义，对函数取绝对值，进行不等式放缩处理
    • 利用导数求最值
    • 利用连续函数的性质
• 无穷大和无穷小
  • 无穷大
    • 1.设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。 在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。 无穷大记作∞，不可与很大的数混为一谈。
  • 无穷小
    • 当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞）时的无穷小量。
    • 等价无穷小
    • 一般化问题
    • 无穷小的阶
    • 性质
• 函数的连续性和断点
  • 连续性
    • 条件
      • ①f(x)在x0及其左右近旁有定义;
      • ②f(x)在x0的极限存在;
      • ③f(x)在x0的极限值与函数值f(x0)相等。
    • 性质
      • f（x）在x0处连续的充分必要条件是f（x）在x0同时左连续和右连续
    • 闭区间上连续
      • 有界性原理
        • 若函数f在闭区间[a,b] 上连续，则f在[a,b] 上有界
      • 最值定理
        • 若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则f存在x1，x2∈[a,b],有f（x2）小于等于f（x）小于等于f（x2），即f（x）在[a,b]上达到最大值和最小值
      • 零点定理
        • 若函数f（x）在[a,b]上连续，且f(a）×f（b)＜0，则至少存在一点c∈[a,b]满足f（c)=0
      • 介值定理
        • 设f（x)在闭区间[a,b]上连续，且f（a)≠f（b),则对于介于f（a)和f（b）的之间的任一实数c，至少存在一点m∈（a，b），使得f（m）=c
• 极限
  • 数列极限
    • 定义
      • 对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。
    • 性质
      • 唯一性
        • 数列如果收敛，则它的极限唯一
      • 有界性
        • 数列如果收敛，则它一定有界
      • 子数列收敛
        • 如果数列收敛于A，那它的任意子列也收敛且极限也为A
        • 证明一个数列或函数没有极限或者发散：证明两个子数列极限不一样
      • 有序性
        • 给定数列xn和yn，如果xn小于等于yn（1，2，3....）且lim xn =a，lim yn'=b，那么a小于等于b
      • 收敛数列的保号性
        • 如果lim xn=a且a大于0（a小于0），那么存在正整数N大于0，使得n大于N时，都有xn大于0
    • 四则运算
• 反函数
  • 性质
    • 关于y=x对称
    • 若f是定义在D上的函数，则f:D-f(d）是单射，则f的反函数一定存在
  • 解题方法
    • y=f(x)出发求出x=f(y),再进行x和y的互换
    • 注意事项
      • 注意定义域和符号的变换
• 极限
  • 函数极限
    • 定义
      • 设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式：
      • 以 的极限为例，f(x) 在点 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ， 使得当x满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
      • 定义证明某极限
    • 存在准则
      • 夹逼定理
      • 单调有界原则
        • 单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
      • 柯西收敛原则
      • 单调极限判别法
        • 在x0的某一去心邻域内，limf（x）=A的充分必要条件是该点左右的极限都存在且相等
    • 证明函数极限不存在
      • 证明函数的左右极限不相等
      • 寻找一个数列{fn}，满足lim'（n趋近于无穷)fn=x0,但lim'（n趋近于无穷)fn不存在
      • 或者找两个数列，满足两数列的极限相等，但f（xn）和f（yn）的极限不一样
• 两个重要极限
  • lim((sinx)/x)=1(x->0)，
    • 条件
  • lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)