最值问题脑图

“最大最小、最多最少、最长最短等问题”称之为“最值问题”，最值问题是普遍的应用类问题，主要解决有“最”字的描述的问题，涉及类目广泛，是数学、物理中常见的类型题目。

最值问题

• 最倒霉+1（抽屉原理）
  • 特征
    • 至少（最少）……保证；
  • 方法
    • 找出最倒霉的情况并+1
• 反向构造
  • 集合构造
    • 特征
      • 都…… 至少
    • 方法
      • 反向
        • 总数减去每一个主体
      • 加和
        • 将减出来的数字加和
      • 做差
        • 总数减去 第二步加出来的和
  • 数列构造
    • 特征
      • 最……最……；排名第……最……；
    • 方法
      • 排序
        • 看题目是问最大、最小还是第几名
      • 定位
        • 找到所求的量，并将其设为x
      • 加和
        • 列方程，等式左边是所有的量都加在一起 ，等式右边是总量
        • 等式左边的式子记得用等差公式
          • 首项加末项乘以项数除以2
          • 中位数乘以个数
      • 筛选
        • 至多选小，至少选大
    • 类型
      • 各不相同
        • 1、最多的至少有几个
          • x+x-1+x-2+……+x-n=总数
        • 2、最少的至多有几个
          • x+x+1+x+2+……x+n=总数
        • 3、排名第n，最多的至少有几个？
          • n左边跟2相同，n右边是1+2+……
            • x+x-1+……+n+……+2+1=总数
        • 4、每人最多n个，某人最少至多
          • n+n-1+……+x=总数
        • 5、最多的最多
          • 1+2+3+……+n+x=总数
      • 可以相同
        • 6、最多至少
          • x+n（x-1）=总数
        • 7、最多的最多
          • n+x=总数
• 与其他题型相结合
  • 能结合的题型
    • 容斥原理
    • 不定方程
    • 经济利润
    • 选票模型
      • 最倒霉+1
  • 方法
    • 利用最值的逆向思维
    • 用每个部分自己的方法