圆锥曲线

圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。起源于2000多年前的古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线。 本图总结了相关知识。

圆锥曲线

• 双曲线
  • 第一定义
    • 平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
  • 第二定义
    • 平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）
  • 第三定义
    • 一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
  • 性质
    • 标准方程
    • 分支
      • 可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左支与右支；当焦点在y轴上时，为上支与下支。
    • 焦点
      • 在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点，焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。
    • 准线
    • 离心率
      • 在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。 双曲线的准线的方程是分焦点在x轴和焦点在y轴
    • 顶点
      • 双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点，它们叫做双曲线的顶点。
    • 实轴
      • 两顶点之间的线段称为双曲线的实轴，实轴长的一半称为半实轴。
    • 虚轴
      • 在标准方程中令x=0，得y²=-b²，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1（0，b）和B2（0，-b），以B1B2为虚轴。
    • 渐近线
    • 参数方程
    • 极坐标方程
    • 焦半径
      • 连接焦点与双曲线上任意一点所得的线段叫做双曲线的焦半径，一般用r1、r2来表示左焦半径与右焦半径。 焦半径公式可由距离公式或圆锥曲线的第二定义推出。
    • 顶点连线斜率
  • 渐近线
    • y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）
      • 范围
        • |x|≥a,y∈R.
      • 对称性
        • 双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.
      • 顶点
        • 两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b
  • 焦点三角形面积
  • 点差
    • b²x+a²ky=0
• 椭圆
  • 性质
  • 第一定义
    • 2a>2c
      • 平面内与两定点的距离的和等于常数的动点P的轨迹叫做椭圆
    • 2a<2c
      • 线段
    • 2a=2c
      • 不存在
  • 第二定义
    • 到一定点（焦点）与一定直线（准线）的距离之比为e
    • 焦半径公式
      • • 点P(x,y)在右支上 │PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a
        • 点P(x,y)在左支上 │PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)
    • 焦点弦长公式
      • 子主题
    • 角度公式
  • 第三定义
    • 到椭圆上关于原点对称的两点斜率之积为常数
  • 焦点三角形