集合

集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体

集合与常用逻辑用语

• 集合的概念
  • 把研究对象统称为元素，一些元素构成的总体叫做集合
  • 数学中一些常用的数集
    • 全体非负整数构成的集合叫做非负整数集，记作N
    • 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或者N+
    • 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z
    • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q
    • 全体实数组成的集合称为实数集，记作R
  • 集合中元素的特征
    • 确定性-集合中元素必须明确
    • 互异性-集合中元素互不相同
    • 无序性-集合中元素没有固定顺序
  • 元素和集合的关系
    • 属于和不属于
  • 集合的表示方式
    • 列举法:把集合中所有元素一 一列举出来，用花括号圈起来
    • 描述法（A I x属于blabla)
    • Venn图法：一个圆圈圈起来
• 集合间的基本关系
  • 集合A为集合B的子集
    • 任意a属于A，都有a属于B
  • 集合A为集合B的真子集
    • A包含于B，且存在元素a属于B，但a不属于A
  • 集合A与集合B相等
    • 所有元素都一样
  • 子集的性质
    • 任何一个集合都是他本身的子集
    • 传递性：对于集合ABC，若a包含于B，B包含于C，则有A包含于C；若A真包含于C，且B真包含于C，则有A真包含于C
    • 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
    • 若一个集合中含n个元素，则子集2的n次方个，非空子集2的n次方减1个，真子集有2的n次方减1个，非空真子集有2的n次方减2个
    • 若集合A中有n个元素，集合C中有m个元素，A包含于B包含于C，则符合条件的B集合有2的m-n次方个
• 集合间的基本运算
  • 交集
    • 由所有属于集合A和集合B的元素组成的集合，称为A和B的交集
  • 并集
    • 由所有属于A或属于集合B的元素组成的集合，称为A和B的并集
  • 全集
    • 如果一个集合中含有所研究问题中涉及的全部元素，那么就成这个集合为全集
  • 补集
    • 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的元素构成的集合称为集合A相对于全集U的补集
• 充分条件和必要条件
  • 能判断真假的陈述句叫做命题
    • 判断为真，真命题
    • 判断为假，假命题
  • 充分条件和必要条件的定义
    • 一般的，若p则q为真命题，指的是通过p推出q，q也可以推出q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
    • 一般的，若p则q为假命题，则p不能推出q，俩都不能互相推，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件
  • 下定义
    • p能推出q，q不能推出p，p是q的充分不必要条件
    • p不能推出q，q能推出p，p是q的必要不充分条件
    • 俩能互相推，是充要条件
    • 俩都不能推，不充分也不必要
  • 充分条件
    • A包含于B
  • 必要条件
    • B包含于A
  • 充分不必要条件
    • A真包含于B
  • 必要不充分条件
    • B真包含于A
  • 充要条件
    • A=B
  • 区间
    • 开区间:不带等于号 小括号
    • 闭区间：带=号 大括号
• 全称量词和存在量词
  • 全称量词
    • 所有的，一切，任意一个，每一个 记作倒A
  • 存在量词
    • 存在一个，至少有一个，有一个，有一些，对某些 记作反E
  • 否定：前面变，后面否定（加个横杠）