导图社区 图形与几何
小学数学-图形与几何，内容整理了图形的认识、图形的运动、方向与位置、图形的测量。
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图形与几何知识体系教材解读
图形的认识
线的认识
线段
直线上两点间的有线部分（包括两个端点）
组成
线段是由无数个点组成
距离
连接两点间线段的长度
性质
两点之间线段最短
特点
是有限长度，可以度量
有两个端点
具有对称性
两点之间的线段，是两点之间最短距离
射线
定义
由线段的一端无限延长形成的直的线
只有一个端点和一个方向
不可度量
辨别
两条端点相同
方向不同
不同的射线
方向相同
同一条射线
直线
构成要素
由无数个点构成
没有端点，向两段无限延长
长度无法度量
是轴对称图形（无数条对称轴）
不重合两点确定一条直线
平面图形的认识
角的初步认识
定义
静态定义
具有公共端点的两条射线组成的图形
动态定义
一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形
分类
角的度数
锐角 （0º＜锐角＜90º）
直角 （等于90º）
钝角 （90º＜钝角＜180º）
劣角（0º＜劣角＜180º）
平角 （等于180º的角）
周角 （等于360º的角）
旋转方向
顺时针
负角
逆时针
正角
无旋转
零角（等于0º的角）
对称性（对称轴是角的角平分线所在的直线）
三角形的认识
不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接组成的封闭图形
按角分
内角度数
锐角三角形 （三个内角都小于90º或三个内角中最大角小于90º）
直角三角形 （三个内角中一个角等于90º或三个内角中最大角等于90º）
钝角三角形 （三个内角中有个角大于90º或三个内角中最大角大于90º，小于180º）
余弦定理
b²+c²＞a²
锐角三角形
b²+c²＝a²
直角三角形
b²+c²＜a²
钝角三角形
按边分
不等边三角形
三边都不相等
等腰三角形
两边相等
等边三角形
三边都相等
内角和定理
在平面上，三角形内角和等于180º
外角和定理
在平面上，三角形外角和等于360º
勾股定理
直角三角形的两条直角边的平方等于斜边的平方
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
三角形具有稳定性
一个三角形的三个内角最少有两个锐角
五心
重心
垂心
内心
外心
旁心
四线
中线
连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段
高
从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点与垂足之间的线段
角平分线
三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
中位线
三角形三边中任意两边中点的连线
四边形的认识
不在同一条直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭图形
凸四边形 （内角和和外角和均为360º）
平行四边形
普通平行四边形
矩形（长方形）
菱形
正方形
梯形
普通梯形
直角梯形
等腰梯形
凹四边形
圆内接四边形
圆的认识
在同一平面内到定点（圆心）的距离等于定长的点的集合叫做圆
平面内一动点到两定点的距离之比（或距离的平方之比），等于一个不为1的常数，则此动点的轨迹是圆。
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
立体图形的认识
长方体、正方体（是特殊的长方体）
有六个面，每组相对的面相同
有12条棱，相对的四条棱相同
8个顶点
长方体相邻的两条棱互相垂直
圆柱
定义
由两个大小相等，相互平行的圆形及连接两个底面的一个曲面围成的几何体
直圆柱（正圆柱、圆柱）
两个底面是半径相等的圆
两个底面圆心的连线和两个底面相互垂直
侧面展开图为长方形
有无数条高，每条高都相等
斜圆柱
特征
两个底面是半径相等的圆
两个底面圆心的连线和两个底面不垂直
侧面展开图为平行四边形
圆锥
只有一个顶点
只有一个底面，底面为圆形
侧面是一个曲面
只有一条高（圆锥顶点到底面圆心的距离）
图形认识一般规律
学科逻辑
点、线、面、体
认识逻辑
体、面、线、体
从立体到平面到立体
从整体到局部
从外部到内部
图形认识基本内容
图形的形状
图形的名称
图形的构成要素
顶点、边、角
图形要素的关系
特征、性质
大小关系
位置关系
平行
垂直
数学思想
抽象思想
任何图形的认识都是把生活中的原型抽象化、理想化的结果
分类思想
平面多边形
三角形、四边形、e五边形等
三角形
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
对边是否平行（四边形）
平行四边形、梯形、两组对边不平行的四边形等
集合思想
转化思想
教材解读
一上
图形的认识
一下
有趣的图形
二下
认识图形（认识角）
三下
认识三角形和四边形
四上
线与角（角的再认识）
五下
长方体（一）
六上
圆
六下
圆柱与圆锥
图形的测量
测量方式
直接比较
通过视觉直接判断图形大小
两个图形重叠直接比较
运用度量单位进行测量
度量单位
中国：1尺、1寸、1里等 英国：1英里、1英寸、1英里等
标准单位（采用十进制进位）
长度：1厘米、1米、1千米等 面积：平方米、平方厘米、平方分米等 体积：立方厘米、立方厘米等
测量工具
长度
直尺、卷尺、软尺
角度
量角器
周长（一维量）
周长概念
图形一周的面积，即环绕有限面积的区域边缘的长度积分
符号表示
C
长方形/正方形周长
四条边的和
C＝a＋b＋c＋d（abcd为四条边的边长）
C＝2（a＋b）（a为长方形的长，b为宽）
C＝4a（a为正方形边长）
圆的周长
C＝∏d＝2∏r（d为直径，r为半径）
面积（二维量）
面积的概念
平面图形所围起部分大小/物体表面的大小
S
长方形的面积
S＝ab（长方形面积＝长×宽）
正方形的面积
S＝a²(正方形面积＝边长×边长)
平行四边形的面积
S＝ah（平行四边形面积＝底×高）
三角形的面积
S＝ah/2(三角形面积＝底×高÷2)
梯形的面积
S＝（a＋b）×h/2(梯形面积＝(上底×下底)×高/2）
圆的面积
S＝∏r²（圆的面积＝圆周率×半径×半径）
长方体表面积
S＝2（ab＋ac＋bc）（长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2）
正方体表面积
S＝6a²（正方体表面积＝棱长×棱长×6）
圆柱的表面积
S＝2∏rh＋2∏r²（圆柱表面积＝侧面积＋两个底面面积）
体积（三维量）
体积概念
物体所占空间的大小
V
长方体
V＝abc（长方体体积＝长×宽×高）
正方体
V＝a³（正方体体积＝棱长×棱长×棱长）
圆柱体
V＝∏r²h（圆柱体积＝圆周率×底面半径的平方×高）
V＝1/3∏r²h（圆锥体积＝圆周率×底面半径的平方×高/3）
数形结合思想
直接观察图形得不出规律与特点，需借助数来表示，以数释形
符号思想
长度单位、面积单位、体积单位周长面积体积的符号表示
模型思想
长方形、圆等的周长面积公式
平行四边形的面积可通过割补或平移变换把平行四边形转化为长方形
极限思想
推导圆的面积公式，将圆平均分为若干份，拼成一个近似的长方形
归纳思想
通过在给定的长方体形铺满单位面积的小正方形， 发现得到长方形面积，归纳得出面积公式
类比思想
用长方形面积公式类比猜想平行四边形的面积公式
函数思想
测圆的周长和直径时，直径变化导致圆的周长变化
周长
三上
周长的概念
六上
面积
五上
多边形的面积、组合图形的面积
体积
长方体（二）
图形的度量是一维、二维、三维大小量化的结果
方向与位置
不确定＋相对（一维）
前后
左右
上下
是相对位置的确定，与观察者和参照物有关
确定＋相对（二维）
东、南、西、北
确定＋精准（二维）
数对
东南、西北……东偏北（二维）
绝对位置的确定，不受观察者影响，只与参照物有关
方向与路线
根据八个方向及距离确定行进路线
用角度和距离确定行进路线
比例尺
位置与顺序（前后、左右、上下）
方向与位置（东西南北）
四上
方向与位置（数对）
确定位置（东偏北……）
物体的方位从粗略到精准，经历一个从定性描述到量化表达的过程
图形的运动
刚体运动
平移
图形所有的点与射线的距离保持不变，沿射线的方向移动相同距离的运动（参照物是一条射线）
方向和距离
点
线
面
图形上的所以点与射线的距离保持不变，沿射线的方向移动相同距离的运动（参照物是一条射线）
旋转
点、方向、角度
图形上的所以点到射线原点的距离保持不变，相对射线移动了相同的角度的运动（参照物是一条射线）
轴对称
对称轴
图形翻转到直线的另一侧，对应点到直线距离相等，对应点连线与直线垂直的运动（参照物是一条直线）
相似变换/保角变换
相似
两个图形形状相似，大小不一定相等
相似三角形
判定方法
两角对应相等两三角形相似
两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似
三边对应成比例，两个三角形相似
两个三角形的两个角分别对应相等（三个角分别对应相等，两个三角形相似）
相似三角形的对应角相等
相似三角形的对应边成比例
相似三角形的周长比等于相似比
相似三角形的面积比等于相似比的平方
相似多边形
两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，则两个多边形相似
相似多边形的对应角相等
相似多边形的对应边的比相等
相似多边形的周长比等于相似边的比
相似多边形的面积比等于相似边比的平方
投影
令投射线通过点或其他物体，向选定的投影面投射，并在该面上得到的图形的方法叫投影法
投影法分类
中心投影法
由同一点（点光源发出的光线）形成的投影
平行投影法
由平行光线形成的投影
图形的运动（轴对称、平移、旋转）
轴对称与平移
图形的运动（图形的旋转）
