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空间向量和立体几何
物理量
本质
类比平面向量
差异
维度
涉及两个向量的空间问题直接化归为平面向量
模/长度
特例
模=0
零向量
模=1
单位向量
模相等
相等向量
方向
相反向量
平行向量/共线向量
运算
线性运算
基础运算
加
减
运算律
数乘
数量积
背景
投影
a,b≠0,∠AOB=<a,b>
设b为单位向量
a投影到b上
投影数量
a·b
投影向量
(a·b)·b
b目的是为投影数量附上方向
公式
cos特殊值
<a,b>=90°
<a,b>=0°
a·a也记作a²
空间内的投影向量
其中b表示b方向上的单位向量，给投影数量附上方向
基本定理
平面向量基本定理
p=xa+yb（a,b≠0）
可以用来证明向量共面
空间向量基本定理
ia+jb+kc
基底
{a,b,c}
在单位正交基底下，可表示为
（i,j,k）
空间直角坐标系Oxyz
右手直角坐标系
空间向量的坐标表示
空间两点的距离公式
应用
点线面的向量表示
点
（i，j，k）
线
面
平面由两相交直线确定
平面由一固定点和一垂直于固定点的向量确定
垂直于某一平面的向量称为法向量
线面平行关系
线线
m∥n
线面
l⊥n
面面
线面垂直关系
距离夹角问题
距离问题
线线（共面）
已知直线AP、l的方向（向量）
借助投影可求|AQ|
勾股定理求|PQ|
已知直线AP、面的方向（法向量）
法向量就是l的方向向量
借助投影直接求|PQ|
其它问题
异面直线
e.g.
正方体棱长为1，E,F均为中点，求CF,AE的距离
法1
化归为求线面距离
CF∥面AEC₁
CF，AE=CF，面AEC距离
点线
化归
点面
夹角问题
线线夹角
u，v分别是l₁，l₂的方向向量
线面夹角
u是l方向向量，n是α法向量
面面夹角
n₁，n₂分别是α，β法向量
<n₁，n₂>∈[0°，90°]
二面角
<n₁，n₂>∈[0°，180°]
要注意二面角的大小和答案的正负
圆锥曲线
椭圆
定义
第一定义
我们把平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆
若=|F1F2|
点在F1F2上
m+n=2a
第二定义
平面内到定点 F1（即焦点）的距离与到准线l（F不在l上）的距离之比为常数e（即离心率）的点P的轨迹是椭圆
第三定义
焦点
定点F1,F2
焦距
|F1F2|
标准方程
焦点落在x轴
推导
两点距离公式带入定义
若(b>a>0)
焦点落在y轴
性质
1
范围
当(x,y)落在椭圆上时，注意其取值范围
2
对称
把方程中x由-x替换，方程不改变
中心
椭圆的对称中心
3
顶点
上下左右
共四个
长轴
半长轴
短轴
半短轴
4
离心率e
刻画
椭圆的扁平程度
取值范围
e∈(0,1)
双曲线
我们把平面内与两个定点 F1，F2的距离的差等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线
|μF1|-|μF2|≠0
若|μF1|-|μF2|=0
以F1,F2为端点的中垂线
a<c
若a>c
不存在
若a=c
射线
m-n=2a
平面内到定点A,B的斜率乘积为常数的点P的轨迹是椭圆
x/y前的系数>0，则焦点落在x/y轴上
对称性
原点
实轴
A1A2
虚轴
B1B2
渐近线
方程
双曲线的开口大小
e∈(1,+∞)
抛物线
p为焦点到准线距离
准线
e=1
沿开口方向无限延伸
对称轴为x/y轴
重要性质/通法/公式
焦半径公式
通式
针对抛物线
焦点弦(长)公式
备注
同一焦点弦下
参数方程/极坐标方程
设
x=acosθ
y=bsinθ
x=rcosθ
y=rsinθ
圆
表示方程上的点
其次化
Q：k1·k2或k1+k2（倒数/之差也可以，需要变形）
韦达定理
求交点坐标
直线和圆的方程
直线的倾斜角和斜率
α
定义：转出来的
k=tanα（α≠90°）
α≠90°
线线平行/垂直的判定
线线平行
k₁=k₂（k存在）
线线垂直
k₁·k₂=-1
a=（1，k）
a₁·a₂=0
直线方程
点斜式
不能刻画l⊥x轴的直线
未知量
k
(x₀,y₀)
斜截式
b是y轴的截距
b
两点式
不能刻画l⊥x轴，l∥x轴直线
(x₁,y₁)
(x₂,y₂)
截距式
a
分别为在x,y轴上的截距
一般式
A,B不同时为0
直线交点坐标和距离公式
交点坐标
联立两直线方程
点点距离
点线距离
线线距离
圆的方程
圆心
半径
一般方程
直线与圆的位置关系
综述
直线与圆相交，有两个公共点
直线与圆相切，只有一个公共点
直线与圆相离，没有公共点.
证明
判别式法
求直线和圆方程联立的Δ
dr法
求圆心到直线距离和半径的关系
两圆相交，有两个公共点;
两圆相切,包括外切与内切，只有一个公共点;
两圆相离,包括外离与内含，没有公共点.
drr法
圆心的距离和半径之和或半径之差的关系
公共弦
两圆相交时，两圆方程之差就是公共弦所在直线方程
若不相交时，是根轴
