数量关系

数量关系全部过程～ 众所周知数量关系搞好是冲刺70分的关键 适合国考，省考，市考，编制考试 包含工程问题，行程问题，利润问题，牛吃草问题

数量关系

• 解题技巧
  • 代入排除法
    • 代入选项
    • 题型
      • 多位数问题、余数问题、年龄问题、不定方程问题
      • 正面无从下手
  • 数字特性法
    • 奇偶加减
      • 奇数+/-奇数＝偶数，偶数+/-偶数=偶数，偶数+/-奇数=奇数
      • 奇数*奇数=奇数，奇数*偶数=偶数
      • 推论：和差同性
        • 再过3年母亲的年龄就是儿子的两倍～说明母亲年龄是偶数
    • 整除判定基本法则
      • 2和5
        • 看最后一位
      • 4和25
        • 看倒数两位
      • 8和125
        • 看倒数3位
      • 3和9
        • 所有数加起来
          • 例:3天共行驶了18个小时，问走了多少公里？考虑S=vt，那结果一定就是18的倍数啦（然后18也就是3的倍数）～
    • 倍数特性
      • 男女比例是7：4，那总体一定是11的倍数，他们的差一定是3的倍数
  • 方程法
    • 设置未知数的原则
      • 所求的
        • 例：问破损了多少个鸡蛋，就可以把破损的鸡蛋设置为x
      • 中间变量
        • A是B的两倍还多3个，C是B的一倍
      • 优先设小的
• 经典题型
  • 不定方程
    • 类似3x+5y=41
      • n个未知数，n-1个式子
    • 限制性不定方程（组）
      • 未知数必须是整数
      • 解题技巧
        • 奇偶特性
        • 因子倍数
        • 尾数法
        • 代入排除
      • 例：两种笔分别为7块和3块，我就只有60块钱，问怎么样买最多笔，钱刚刚好
        • 多买点3块钱的笔就好啦～
    • 非限制性不定方程
      • 不要求必须是整数，比如时间
  • 工程问题
    • 核心公式：工作用量=效率*时间
    • 常考题型
      • 给定时间型
        • 只给出了甲单独完成需要多久，乙需要多久
        • 解题方法
          • 赋值总量为公倍数，求出各自的效率，再进一步分析
      • 效率制约型
        • 例如告诉你甲、乙的效率之比是2：3
        • 解题方法
          • 赋值效率
          • 直接赋值各自效率比值 比如甲乙效率2：3，直接就按2：3算
          • 这种题其实可以赋予用量，比如甲：乙效率是2：3，那么赋值总量一定就是5的倍数，找个容易算的代进去
        • 举个例子：甲乙丙工作效率是5：4：6，所以总量是15的倍数，我们可以赋总量为150（别问，问就是容易算～）
      • 效率给出型
        • 直接给出效率，比如甲每天生产50个
        • 例题：王庄修900米，李庄修1250米，ABC每天分别修24、30、32，A和C分别在王庄和李庄修，然后B来回修。两地同时开始同时完工，问B在王庄修了几天？（结果是整数）
          • 先总长度（900+1250）除以总效率（24+30+32）得到修路总时间25天
          • 25天乘以A的效率24得到A修的路600
          • 所以剩下的（900-600）也就是300米就是B修的了，再除以B的效率，得到结果
  • 行程问题
    • 核心公式
      • 路程=速度*时间（s=v*t）
    • 等距离求平均速度（主要算那种来回，有上下坡的）
      • v=2（v1v2）/（v1+v2）
    • 流水行船问题
      • 顺流速度
        • 静水船速+水速
      • 逆流速度
        • 静水船速-水速
    • 相遇追及问题
      • 相遇距离=（大速度+小速度）*相遇时间
      • 追及距离=（大速度-小速度）*追及距离
      • 补充
        • 环线型n次相遇
          • 共同行走的距离=n*环线长度
        • 环线型n次追及
          • 追及的距离=n*环线长度
        • 注意！！！是环线型这里！！！！
    • 两端相遇问题
      • 直线型两端出发n次相遇
        • 共同行走距离=（2n-1）*两地初始距离
          • 直线型，必须是2n-1
  • 排列组合
    • 区分
      • 分类用加法
        • 甲部门有5个，乙部门有6个，问从他们中抽1个人的可能性
      • 分步用乘法
        • 甲部门有5个，乙部门有6个，从他们中各自抽1个人的可能性
    • 排列&组合
      • 排列（A)：与顺序有关，每个人做不同顺序
        • 从108个人抽3个排老大，老二，老三
      • 组合（C）:与组合无关，每个人做相同的事
        • 从108个人抽3个，就抽3个，不排大小
    • 基本公式
      • 排列公式，Amn=n(n-1)(n-2)…（n-m+1）
        • 例如A（4 7）=7*6*5*4
      • 组合公式，Cmn=Amn/Amm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)/m(m-1)(m-2)…*2*1
        • 怎么理解，从108个中抽三个，给他们排老大老二老三，也就是A（3 108）
          • 会不会等于从108个抽三个不排老大老二老三，也就是C（3 108），再让他们3个自己排一下A（3 3）
        • 例如：C（3 7）=7*6*5/1*2*3
      • 特殊要记住的Cnn=1
    • 拓展题型
      • 捆绑法
        • 看成一个，被捆绑的内部再排一次
      • 插空法
        • 主要是不相邻问题
      • 插板法
        • 7个橘子分给4个小朋友，每人至少一个
          • C3 6因为7个小朋友中间只有6个空格，并且插3块板就可以了
          • 拓展：30份学习材料分享给3个部门，每个部门至少9份（可以先给每个部门发8份嘛，这样就可以转化了）
      • 错位排列
        • 5个科室各抽1个人，交流到其他科室，如果每个单位只能接收一个人，有多少种人员安排方式
          • 直接背：D2=1，D3=2，D4=9，D5=44
          • 所以D5等于44，直接秒了～
  • 概率问题
    • 基本概率
      • 满足条件数/总的情况数
    • 分步乘法
      • 满足每个条件的步骤概率之积
    • 分类加法型（结合题目意思判断）
      • 概率之和
    • 逆向选择
      • 1-该事件不发生的概率
      • 比如3个路口遇到红灯的概率的分别为0.1，0.3，0.4，那么问遇到红灯的概率是多少？
        • 很简单，先假设全部遇到绿灯的机会嘛，然后把他们乘一起（因为这里只要有一个遇到红灯也算嘛～）
  • 经济利润问题
    • 利润折扣问题
      • 总成本=单个成本*进口量；总售价=单价*销售量
      • 利润率=利润/成本=（售价-成本）/成本=（售价/成本）-1
    • 分段计费问题
      • 画一条轴列出来，花不了几十秒的～
  • 最值问题
    • 最不利构造
      • 至少…才能保证…
        • 最不利情形+1
    • 数列构造
      • 最多/最少
        • 先排个序，123456
        • 再定位，求谁设谁为x
        • 构造，根据题意构造其他元素的值。比如x要最小，那其他就是尽可能的大
        • 加起来，然后把x给我解出来
          • 如果x是小数，那要最小的，肯定是取个比x大的。毕竟人家最小也6.8了，怎么可能取个6不是（同理，求最大也一样～）
    • 多集合反向构造
      • 特征：至少…都…的情况下
      • 比如问4个软件都用过，我们可以先把没用过某个软件的人数，分别加起来。再总人数-他们，得到的就是至少4个都有
  • 容斥问题
    • 两集合标准型公式
      • A+B-AB=总数-都不满足
    • 三集合标准型公式
      • A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不
    • 三集合非标准
      • A+B+C-只满足两个条件的-2*满足三个条件的=总数-都不满足
        • 只有出现“只满足”才使用这个
    • 拓展
      • 出现只满足一个条件时，画图
      • 不能代入公式的，画图
  • 几何问题
    • 常用公式
      • 角
        • 内角和=（n-2）*180度
        • 外角和恒等于360度
      • 常用周长公式
      • 面积公式
      • 表面积公式
      • 体积公式
        • 球的体积=4/3πR^3
      • 常见数
        • 勾股数
          • 3，4，5
          • 1，1，根号2（45度角）
          • 1，根号3，2
        • 120度等腰三角形
          • 1，1，根号3
  • 年龄问题
    • 3个基本方法
      • 代入排除
      • 方程
      • 记住核心：每年每人只长1岁，先分别列出来
        • 容易错的就是有的两个相加，却只加了一个人的年份
    • 比如2000年姐弟年龄之和是妈妈的1/4，然后2006年姐弟的年龄之和是妈妈的1/2，求哪一年姐弟的年龄之和等于妈妈的年龄
      • 易错点就是6年后，把姐弟的年龄变成x+6了，毕竟这是2个人
  • 溶液问题
    • 浓度=溶质/溶液=糖/糖水总重量
    • 例子：浓度为15%的盐水若干克，加入一些水后，浓度变为10%，再加入同样多的水后，浓度是多少
      • 浓度为15%，也就是15/100
      • 加入x多的水后，变成15/(100+x)=10%
      • 把x解出来，题目就可以求了
• 自学提高
  • 牛吃草问题
    • y=(N-x)T
      • 怎么理解呢：现在有总草量y，然后平均每天增长x，有N头牛
      • 可以让x头牛去处理每天新增的，剩下的N-x头牛处理剩下的。所以原来的总量y=（N-x）T
      • 必须看清楚哦，有的是加，比如蒸发大，还匀速抽水的，等于多了个助力～
  • 循环周期问题
    • A/T=N还余a
  • 星期日期问题
    • 口诀：四年一闰，百年不闰，四百年再闰
    • 每过一年星期+1（平年）
      • 比如今年2月16是星期二，明年的2月16就是星期三
      • 例外：闰年就是星期+2
  • 比赛问题
    • 淘汰赛
      • 100支队伍，总共打了99场…（第三第四不再打一场的话），因为总共99支队伍被淘汰
    • 循环赛
      • 单循环赛
        • 每个对于都要和其他对手打一场
          • 意思就是从所有的队伍里选2个打一场的情况C2n
        • 就是打了N(N-1)/2
      • 双循环赛
        • 在原来的基础上分了主场和客场，所以就是乘以2，也可以理解为A2n
    • 甲乙丙丁分别打了4，3，2，1场，问总共打了多少场
      • 把图画出来
  • 统筹优化问题
    • 枚举法，逻辑推断
      • 比如可以把必须要做的流程先列出来
  • 钟表问题
    • 追及问题
      • 分针速度是：360度/60分钟
      • 时针速度是：30度/60分钟
    • 一整天分针走24⭕️，时针走2⭕️，所以时针超过分钟22⭕️
      • 重合22⭕️，垂直44⭕️
  • 植树问题
    • 单边线性问题
      • 棵树=总长/间隔+1（两端也种上的话）
    • 单边环形植树
      • 棵数=总长/间隔
    • 剪绳问题
      • 将绳子截为n段，需要n-1刀
        • 比如绳子对折3次，这样一刀从中间切下去就是2^3刀，所以是9段
  • 函数问题
  • 数列问题
    • 等差数列求和=中位数*项数
    • 拓展：项数=（末位-首位）/公差+1
  • 天平问题
    • 天平问题，直接取最小
    • N次称重，可以从3^N个物品中，选出具有差异的瑕疵品
    • 不选最小都对不起出题老师了～
  • 空瓶换酒
    • M个空瓶换1瓶酒，转化为（M-1）个空瓶换1个（无瓶）酒，来解答
    • 比如：12个空瓶可以免费换1瓶，现在有101个瓶子
      • 可以假设我只有11个瓶子，然后跟老板借1个瓶子，凑成12个。喝完再还回去
      • 所以其实就是101除以11个（因为有11个就可以这样操作一次嘛），然后等于9
  • 方阵问题
    • 方阵实心是NM，一般是正方形，所以就是N的平方
    • 方阵最外层是2(N+M)-4
    • 方阵相临两层人数相差8
  • 拿牌问题
    • 比如：一幅扑克牌54张，每次只能拿1，2，3，4张，谁拿走最后一张谁谁赢
      • 可以先拿4张，（后面出1你就4，出2你就3，反正就是给它凑成5张）