导图社区 数学分析
数学分析的思维导图，整理了实数、极限、拓扑基础、积分、微分的内容，希望对你有帮助。
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数学分析
实数
集合论基础
定义
实数公理体系
Dedekind分割
Cauchy列
基本定理
部分条件互推还需用到阿基米德原理
确界原理
确界
以上确界为例
最小的的上界
单调有界原理
闭区间套原理
有限覆盖原理
列紧性原理（魏尔斯特拉斯原理）
柯西收敛原理
极限
数列极限
唯一性
保序性
夹逼原理
四则运算、指数运算、绝对值运算
函数极限
子列
Henia定理（归结原理）
连续
复合连续函数极限
不连续时公式不一定成立
一致连续
Lipschitz条件
反函数连续定理
性质
有界定理
最值定理
零点存在定理
介值定理
等价无穷小
有界量
上下极限
符号性质
数乘性质
加法性质
乘法性质
倒数性质
极限点
级数
正项级数
比较判别法
极限形式
第二比较判别法
Cauchy积分判别法
其他判别法
Cauchy判别法
d'Alembert判别法
Raabe判别法
Bertrand判别法
Cauchy凝聚判别法
任意项级数
Leibniz级数
Abel判别法
Dirichlet判别法
绝对收敛
条件收敛
正负部收敛
更序级数值不变
与括号级数同敛散且相等
正负部发散至正无穷
更序级数能取到任意值
乘积
Cauchy乘积
两绝对收敛数列的乘积绝对收敛
无穷乘积
Wallis公式
Stirling公式
函数序列
点态收敛
收敛点
收敛域
一致收敛
判别法
Cauchy收敛原理
范数判别法
Weierstrass判别法
其他的级数收敛的判别法
连续性
条件
[a,b]上连续
[a,b]上一致收敛
极限顺序可交换
积分lim可交换
[a,b]上可积
微分
函数在有限个区间一致收敛，则函数在这些区间上的并还是一致收敛
概念
绝对一致收敛
各项取绝对值后的级数一致收敛
端点情况
内闭一致收敛
Dini定理
函数项级数
逐项积分
逐项求导
幂级数
收敛半径与收敛域
Cauchy-Hadamard定理
得到绝对收敛
d'Alembert定理
Abel第一定理
Abel第二定理
得到内闭一致收敛
Taylor级数
求法
直接展开法
换元法
系数比较法
假设展开式，相乘后两边比较系数，一般用于除法的情况
代入法
先求复合函数外层函数的幂级数，再求内层，并全部展开
和函数
Fourier级数
收敛准则
Dirichlet积分
Dirichlet核
Riemann引理
局部性原理
Dirichlet-Jordan判别法
Dirichlet引理
Dini-Lipschitz判别法
Holder条件（广义Lipschitz条件）
广义单侧导数
Bessel不等式
Parseval等式
Fourier变换
复数形式
逆变换
卷积
快速Fourier变换
重极限
累次极限与重极限相等时
拓扑基础
空间
范围依次缩小
拓扑空间
开集
邻域
内点
导集
内部
所有包含于A的开集的并集
A的内部等于自身当且仅当A是开集
闭集
补集是开集
闭包
所有包含A的闭集的交集
A的闭包等于自身当且仅当A是闭集
紧集
紧集的闭子集也是紧集
闭集上的连续函数一致连续
取每一个局部的开覆盖
取出有限子覆盖并取最小
列紧性（Bolzano-Weierstrass性）
X的每个点列都有收敛子列
连续映射
同胚
双射且逆映射也连续
同伦
开集在连续映射下的原像还是开集（反之也成立）
闭集在连续映射下的原像还是闭集（反之也成立）
紧集经过连续映射还是紧集
连通性
乘积空间
Hausdorff空间
不同的点存在不相交的邻域
极限唯一
紧集是闭集
紧空间到Hausdorff空间的连续双射一定是同胚映射
距离（度量）空间
对称性
d(x,y)=d(y,x)
正定性
d(x,y)>=0,等号成立当且仅当x=y
三角不等式
d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)
R的子集是紧集当且仅当它是有界闭集
完备度量空间
所有Cauchy列均收敛
Banach不动点定理（ 压缩映射原理）
Picard定理
隐函数定理
赋范空间
||x||>=0,等号成立当且仅当x=0
齐次性
||ax||=|a| ||x||
||x+y||<=||x||+||y||
L^p范数
算子范数
内积空间
双线性
Euclid空间
积分
不定积分
计算
第一类换元法(凑微分法)
第二类换元法
三角换元
倒代换
根式代换
分部积分法
递推公式
有理函数的积分
步骤
假分式=多项式+真分式
真分式=部分分式之和
待定系数法
解方程组
代特殊值
凑微分法
留数法
求极限
求导后求极限
对部分分式积分
可化为有理函数的积分(欧拉换元)
三角函数
根式
定积分
Darboux定理
上和
上积分
下和
下积分
振幅和
勒贝格定理
线性性质
保号性
乘积可积性
绝对可积性
(有限)区间可加性
函数可积的充要条件
函数几乎处处连续
单调函数
积分第一中值定理
离散与连续
加权平均
离散时
琴生不等式
连续型琴生不等式
积分第二中值定理
样条函数
微积分基本定理
积分上(下)限函数
广义(Riemann)积分
瑕积分
Cauchy主值
不同坐标系的积分
直角坐标系积分
极坐标系积分
参数方程积分
几何量计算
长度
面积
体积
广义积分
类型
无穷限积分
收敛情况
类似级数
重积分
Jordan测度
外测度
内测度
零测集
非负性
单调性
有限可加性
平移不变性
规范性
线性变换的Jordan测度
平行体的测度
可积准则
Riemann可积函数必有界
可积的等价条件
振幅和的极限为0
线性性
两个可积函数的乘积与商均可积
上下界
绝对值不等式
区域有限可加性
积分中值定理
与Jordan测度的关系
轮换对称性
将变量换序后函数表达式不变
二元函数f(x,y)
关于y为奇函数
关于y为偶函数
三元函数f(x,y,z)
累次积分
Fubini定理
x和y可分为不同乘积时
变量代换
常见正则变换
极坐标变换
柱坐标变换
球坐标变换
二重积分
X型区域
Y型区域
三重积分
先1后2
D取f在xy面上的投影
先2后1
曲线曲面积分
曲线积分
第一类曲线积分
无方向
可求长曲线
路径可加性
参数化
第二类曲线积分
有方向
方向性
曲线反向，积分值的符号相反
方向向量
曲面积分
第一类曲面积分
r(u,v)为曲面
||·||表示取范数后再取绝对值
曲面为z=f(x,y)时
常见曲面
球面
第二类曲面积分
曲面的方向
单侧曲面
Mobius带
双侧曲面
定向曲面
积分值的正负号需根据曲面方向决定
Green公式
正向切向量形式
外法向量形式
可视为Gauss公式在平面上的情况
特殊曲线积分
区域面积
辐角变化量
Gauss公式
散度形式
Stokes公式
旋度形式
积分与路径无关的条件
沿闭曲线积分为0
存在原函数
满足恰当条件
场论
梯度
数量场->向量场
散度
通量
向量场->数量场
旋度
环量
向量场->向量场
保守场
曲线积分与路径无关的向量场
有势场
势函数
V=-U
无旋场
场中每一点旋度都为0
对于单连通区域上的连续可导函数，三者等价
含参变量积分
常义积分
极限与积分运算可交换
积分次序可交换
积分下求导
由连续得一致连续可证
积分上下限是函数时的求导
与级数的联系
Euler积分
Gamma函数
可导性
由分部积分可得
定义域延拓
Legendre公式
余元公式
其他形式
Beta函数
和Gamma的关系
一元函数微积分
微分定义
高阶导数/微分
导数定义
左、右导数
四则运算
复合函数求导/微分
链式法则
一阶微分不变性
隐函数求导
反函数求导
中值定理
Fermat引理
Rolle定理
Lagrange中值定理
Cauchy中值定理
L'Hospital法则
Taylor展开式
Peano余项
Lagrange余项
Schlomilch-Roche余项
一般余项
直接展开
Darboux中值定理
应用
极值
判别法一
判别法二
判别法三
凹凸性
拐点
推论
凸函数的情况，每个推论的其他条件省略
f(x)在(a,b)上连续
渐近线
曲率
弧长微分
弧度微分
插值法
插值余项
Lagrange插值公式
近似计算
泰勒展开
二分法
Newton迭代
误差
绝对误差
相对误差
多元函数微分
累次极限区间存在，重极限存在，则两者相等
二元函数对x连续，对y满足Lipschitz条件，则函数连续
初等函数连续
偏导数
方向导数
高阶偏导
Schwarz定理
偏导连续则求偏导的顺序可交换
全微分
所有偏导数连续，函数可微
Jacobi矩阵
微分在基下的表示
Jacobi行列式
f,g连续可导,g的值域包含于f的值域
矩阵形式
偏导数形式
树状图形式
一阶全微分形式不变性
数值函数微分中值定理
向量值函数微分多中值定理
视为多个数值函数的组合应用微分中值定理
Taylor公式
数值函数
反函数定理
可通过构造类似于牛顿迭代序列，应用压缩映射原理证明
局部反函数定理
结论
f是开集U上的单射
f(U)是开集
整体反函数定理
F对y的偏导在该点可逆(Jacobi行列式不为0)
计算方法
根据公式计算
根据Gramer法则计算
无条件极值
必要条件
梯度为0
梯度为0的点称为驻点
Hess矩阵
矩阵->极值的情况
正定
A>0,AC-B^2>0
严格极小值点
负定
A<0,AC-B^2>0
严格最大值点
不定
AC-B^2<0
梯度为0，Hess矩阵不定，该点称为鞍点
不是极值点
有零特征值，无异号特征值
AC-B^2=0
仅利用Hess矩阵无法判断
极值->矩阵的情况
极小值点
半正定
极大值点
半负定
Lagrange乘子法
等式约束
k维光滑曲面
Lagrange函数
一个点是函数极值点的必要条件是点为相应的Lagrange函数的驻点
即目标函数的梯度方向与曲面的梯度方向相同，此时函数值变化趋势相同
几何应用
曲线
光滑曲线
函数可参数化,连续且导数不为0
切向量
切线方程
曲面
局部参数表示
（整体）参数表示
切空间
切空间中的元素
法空间
与切空间正交的空间
法向量
法空间中的元素
切平面
切向量表示
法向量表示
切空间与曲线
隐式曲面
F'秩为1
转化为参数表示
方程组确定的曲线
外微分
楔积
k次微分形式（k-形式）
1-形式是导数
广义Stokes公式
可视为Newton-Leibniz公式在多变量情形的推广
