符号计算语言：Mathematica

Mathematica作为一款强大的符号计算语言，能高效地进行符号运算与处理，我汇总了Mathematica的使用方法，共分八章，基本涵盖了各个方面。

符号计算语言：Mathematica

• 第一章：简介
  • 符号计算系统简介
    • 怎样应用Mathematica
      • 内置函数名：英文单词（首字母大写）
      • 函数的变量或运算内容：“[ ]”
      • 列表、变量的范围：“[ ]”
      • 运行代码：“Shift+Enter”
    • 因式分解：Factor[x^3+36x^2+431x]
    • 解线性方程组：Solve[{3x-2y==5,x+y==5},{x,y}]
    • 计算导数：D[x^2*Sin[x],x]
    • 不定积分：Integrate[x^3Sin[x],x]
    • 矩阵特征值：A={{1,3,5},{3,2,7},{1,2,-1}}; Eigenvalues[A]
    • 绘制图像：Plot[Sin[x],{x,-3,3}]
  • 常用操作
    • 一维输入：单元(Y)—转换成—TraditionalForm
    • 二维输入
      • 面板(P)
        • 数学助手（数学格式）
        • 其他：代数操作/基本排版/数字输入
      • 插入(I)
        • 特殊字符：希腊字母等
        • 排版(T)：上下标
        • 表格/矩阵(M)
• 第二章：Mathematica基本量
  • 数的表示及其函数
    • 简单数值类型
      • 整数：Integer
      • 有理数：Rational
      • 实数：Real
      • 复数：Complex
    • 数学常数
      • 45Degree：45°
      • E：e
      • GolderRatio：1.618
      • I：√-1
      • Infinity：∞
      • Pi：π
    • 数的转换
      • 转为整数：Round（四舍五入）/Floor（向下取整）/Ceiling（向上取整）
      • 转为实数：N[Pi,6]（默认保留五位）
      • 转为分数：Rationalize
    • 常用初等函数
      • 绝对值：Abs[x]
      • 复数实部/虚部/辐角/共轭：Re[z]/Im[z]/Arg[z]/Conjugate[z]
      • 幂函数/平方根：Power[x,y]/Sqrt[x]
      • 指数/对数：Exp[x]/Log[x]
      • 最大/小值：Max[x1,x2,...]/Min[x1,x2,...]
      • 三角/反三角/双曲/反双曲函数：Sin[x]/ArcCot[x]/Sinh[x]/ArcSinh[x]
    • 字符串：双括号“”括起的字符，如“清华大学”
  • 列表生成
    • 表示对象：数组（向量）、矩阵、集合
    • 形式：花括号”{ }“括起有限个元素，元素间用逗号分隔
    • 生成方式
      • 枚举：a={1,2,3}
      • 专用：Range[ ]
      • 循环：Table[ ]
      • 随机生成：RandomReal[ ]
      • 递归列表：RecurrenceTable[ ]
    • 列表元素表示：A={1,2,3}——A[[2]]=2，A[[-1]]=3（倒数第一项）
  • 列表相关函数
    • 编辑
      • 删除：Drop/Delete[ ]
      • 增加：Insert[ ]（插入）/Append[ ]（追加）
    • 排序：Sort[ ]
    • 求和：Apply[ ]
    • 合并/拆分：Flatten[ ]/Partition[ ]
    • 集合运算
      • 并集：Union[ ]
      • 交集：Intersection[ ]
      • 补集：Complement[ ]
  • 表达式
    • 变量
      • 变量名：在mathematica中变量名通常以英文字母开头，希腊字母和中文字符也可用在变量中，建议变量以小写字母开头，若要大写，应避免使用C、D、E、I等系统已用字母。
      • 变量替换：表达式 /. 规则或ReplaceAll[表达式，规则]
      • 清除变量：Clear[ ]
    • 算数表达式
      • 阶乘：！
      • 变量自加/减：++/--
      • 方幂：^
      • 矩阵乘积/向量内积：.
    • 逻辑表达式
      • 值
        • True
        • False
        • 返回原形式（无法确定）
      • 逻辑运算符
        • 与：And/&&
        • 或：Or/||
        • 非：Not/！
        • 逻辑等价：Equivalent
• 第三章：初等函数
  • 多项式运算
    • 基本运算：PolynomialQuotientRemainder[a1,a2,x]（求两多项式相除的商式+余式）
    • 元素提取
      • 检验：PolynomialQ[ ]
      • 给出变量：Variables[ ]
      • 多项式系数：Coefficient[ ]
    • 展开与合并
      • 展开
        • 乘积+正整数方幂：Expand[ ]
        • 乘积+整数方幂：ExpandAll[ ]
        • 嵌套幂次（如对数开方）：PowerExpand[ ]
        • 展开分子/分母：ExpandNumerator[ ]/ExpandDenominator[ ]
      • 合并
        • 合并同类项：Collect[ ]
        • 部分分式之和：Apart[ ]/ApartSquareFree[ ]
        • 约分：Cancel[ ]
        • 通分：Together[ ]
    • 因式分解
      • 分解多项式：Factor[ ]
      • 提出多重因式：FactorSquareFree[ ]
      • 高级用法：FactorTerms[ ]/FactorList[ ]/FactorSquareFreeList[ ]
    • 公因式与公倍式
      • 最大公因式：PolynomialGCD[p1,p2,...]
      • 最小公倍式：PolynomialLCM[p1,p2,...]
      • 拓展最大公因式：PolynomialExtendedGCD[ ]
  • 三角函数运算
    • Expand[ ]/Cancel[ ]/Together[ ]也适用于三角函数运算，但并未结合三角函数公式化简，此时需要在函数中设置：”Trig→True“。例如：Cancel[Sin[x]/(1-Cos[x]^2),Trig→True]
    • 专用函数
      • 和差化积：TrigExpand[ ]
      • 积化和差：TrigReduce[ ]
      • 因式分解：TrigFactor[ ]
      • 欧拉公式
        • 三角变为指数：TrigToExp[ ]
        • 指数变为三角：ExpToTrig[ ]
    • 表达式化简
      • 化简：Simplify[ ]
      • 深入化简：FullSimplify[ ]
      • 依据假设assum执行expr：Assuming[assum,expr]
  • 解方程运算
    • 方程表示
      • 等式：eqn1==eqn2
      • 不等式：>/</!=（不等于）
      • 方程组：{eqn1,eqn2,...}或eqn1&&eqn2&&...
      • 方程和不等式也可被展开、合并、化简：Expand[ ]/Collect[ ]
      • 联立方程组消去变量：Eliminate[ ]
      • 若要把方程的解带入表达式，可直接用运算符“/.”，如：sol=Solve[...]; x^2+y^2/.sol
    • 常规方程求解
      • 符号求解（解析解）
        • 求方程组：Solve[ ]
        • 化简并求解方程组/不等式：Reduce[ ]（某些情况下比Solve[ ]更好用）
        • 求解方程组/不等式特解：FindInstance[ ]（一般不如Reduce[ ]）
        • 仅限求解单个多项式根：Roots[ ]
      • 数值求解
        • 求方程所有数值解：NSolve[ ]
        • 求单个多项式所有数值解：NRoots[ ]
        • 求方程（组）在某一给定点附近的数值根：FindRoot[f,{x,a}]（牛顿迭代法）
    • 递归方程求解
      • 求值：RecurrenceTable[ ]
      • 求通解：RSolve[ ]
• 第四章：微积分
  • 求极限
    • 公式：Limit[expr,x→x0]
    • 累次极限：Limit[Limit[expr,x→x0],y→y0]
  • 微商和微分
    • 微商（导数）
      • 导数/偏导数：D[f,x]/f'[x]
      • 高阶偏导数：D[f,x1,x2,...,xn]→
      • n阶偏导数：D[f,{x,n}]→
      • 复合函数偏导数：D[f,x,NonConstants→{y1,y2,...,yn}]
      • 偏导数向量：D[f,{{x,y,z,...}}]→
    • 全微分：Dt[f]
  • 不定积分和定积分
    • 不定积分
      • 公式：Integrate[ ]
      • 二重积分：Integrate[f,x,y]（先y后x）
      • 分段函数积分：Integrate[Piecewise[{{1,x<1},{x,x>=1}}],x]
      • 向量函数积分：Integrate[{x,E^x,Sin[x]},x]
    • 定积分
      • 解析解：Integrate[f[x],{x,a,b}]→
      • 数值解：NIntegrate[f[x],{x,a,b}]（二重积分再加"{y,c,d}"）
    • 多重积分
      • 曲线积分：Integrate[f,{x,y}∈Circle[ ]]
      • 曲面积分：Integrate[f,{x,y,z}∈Sphere[]]
    • 注意
      • Mathematica提供如Bessel函数、Gamma函数和Beta函数等数学物理特殊函数表示积分结果
      • 无法算出结果则仍按Integrate形式输出
  • 级数
    • 幂级数
      • 展开
        • 公式：：Series[expr,{x,x0,n}]（将expr在x=x0点展开到n阶幂级数）
        • 注意
          • 可直接对抽象函数展开
          • 展开式中可能将分数、对数函数作为基本元素
          • Series可计算无界函数在无界间断点（瑕点）的洛朗展开式
      • 运算
        • 求和：Sum[ ]
        • 无穷乘积：Product[ ]
        • 给出幂级数中某一项系数：SeriesCoefficient[ ]
        • 反函数级数：InverseSeries[ ]
        • 幂级数复合：ComposeSeries[s1,s2]（用幂级数s2代换幂级数s1中的变量x）
    • 傅里叶级数
      • 公式：FourierSeries[ ]（周期为2π）
      • 注：对于以2L为周期的函数，在公式后用“FourierParameters→{1，2Pi/L}”说明
      • 正弦/余弦级数
        • 正弦：FourierSinSeries[ ]
        • 余弦：FourierCosSeries[ ]
  • 微分方程
    • 解析解
      • 常微分方程（组）
        • 公式：DSolve[ ]
        • 注
          • DSolve[ ]是在纯函数形式下求解，其解可以再代入微分的运算
          • 例：DSolve[{y[x]==-z'[x],z[x]==-y'[x],y[0]==0,},{y[x],z[x]},x]
          • 初始条件一并放入“eqns”里
      • 偏微分方程（组）：DSolve[eqns,{y1,y2,...},{x1,x2,...}]
    • 数值解：NDSolve[ ]
• 第八章：程序设计
  • 条件结构
    • If语句：If[ ]
    • Which语句：Which[ ]
    • Switch语句：Switch[ ]
    • 函数式条件
      • 数学函数条件：Piecewise[ ]
      • 条件表达式：f[expr,Assumptions→]
      • 基于列表条件：Cases[ ]/Select[ ]
      • 模式约束：”/；“、”p ? test“
  • 循环结构
    • Do[ ]（内部循环变量j为局部变量，不影响外部变量值j）
    • While[ ]
    • For[ ]
    • While、For循环中没有隐含的局部变量
    • ”++“/”--“
      • x++/x--：在使用x后将x加/减1
      • ++x/--x：在使用x前将x加/减1
      • x+=y/x-=y：x=x+y/x=x-y
      • x*=y x/=y：x=x*y/x=x/y
    • 迭代函数（函数式循环）
      • Nest[ ]/NestList[ ]/NestWhile[ ]
      • 不动点迭代：FixedPoint[ ]/FixedPointList[ ]
  • 程序模块
    • Block[ ]：保护模块外部同名变量，使它们不受模块内部语句影响
    • Module[ ]：保护模块内部的局部变量，使它们不受模块外部影响
    • With[ ]（速度比Module快）
    • 茱莉亚集合和罗德尔部落特集：JuliaSetPlot[ ]/MandelbrotSetPlot[ ]
    • 中止程序运行
      • 计算(v)→放弃计算(A)
      • "Alt"+"."
  • 程序包
    • 给函数附加定义信息
      • 定义信息：s::tag=string
      • 显示信息：Message[s::tag]
      • 打开/关闭信息：On/Off[s::tag]
    • 构建程序包
      • 程序包为纯文本格式，通常后缀名”*.m“
      • 查看当前上下文（是否为全局Global`）：$Context
      • 使用程序包：<<Package`或Needs["Package`"]
    • Wolfram系统标准程序包
      • 统计学程序包
        • Analysis of Variance
        • Hypothesis Testing
      • 离散数学程序包
        • Combiatorica
      • 微积分程序包
        • Fourier Series
        • Variational Methods
        • Numerical Differential Equation Analysis
• 第七章：自定义函数和模式替换
  • 自定义函数
    • 在符号计算环境下并不强调函数与命令的区别
    • 模式x_
      • 定义函数：f[x_]:=x-1（变量可以是数、符号、矩阵）
      • 注意：必须要有“_”，若定义g[x]:=x-1，系统只认识g[x]，g[1]无定义原样输出
      • 同名函数不同模式（面向对象）：f[x_,y_]:=x+y f[x_,x_]:=Sin[x]+Cos[x]，此时f有两个函数定义（查看定义：？f）
      • 一些定义方式
        • x的任意幂次：x^n_
        • 任意表达式的任意幂次：x_^n_
        • 含有两个表达式的表：{a_,b_}
        • 一个或多个变量：x_ _
        • 零个、一个或多个变量：x_ _ _
      • 模式类型说明
        • 表达式：x_
        • 近似实数：x_Real
        • 表：x_L:ist
        • 头为h的表达式：x_h
        • 整数：x_Integer
        • 复数：x_Complex
        • 矩阵：x_Matrix
        • 更复杂时可用“？”进行判断，例：u[x_ ? NumericQ]:=x+2
    • ”:=“与“=”（延时赋给与立即赋给）
      • 延时赋给（：=）：会在调用时再计算后面的表达式（定义函数多用）
      • 立即赋给（=）：会在进行赋值时就计算后面表达式的结果（定义变量多用）
  • 模式替换
    • 自定义模式替换
      • 作为函数：f=x; f /. x→2
      • 改函数名：f[x] /. f→g
      • 两次替换：{a,b,c} /. a→b /. b→d
      • 同时替换：{a,b,c} /. →{a→b,b→d}
      • 函数取代：1+x^(1/2)+x^2 /. x^n_→g[m]
    • “→”和“:>”（立即变换和延迟变换）
      • 延迟变换（:>）：定义时不求值，调用时才求值（多用于数学关系式）
      • 立即变换（→）：定义规则时就求值（多用于替换具有确定值的表达式）
    • 非自动调用规则
      • Mathematica系统规则分为两类：自动调用规则和非自动调用规则。自动调用规则包括系统自带和用户用“=”或“：=”定义的规则，非自动调用规则由“→”或“:>”定义，要用“/.”、“//.”或Replace才能调用。
      • /. ：对表达式只调用一次
      • //. :对表达式反复调用，直到不再变化
      • Replace[ ]：替换一层
      • ReplaceAll[ ]：替换所有部分（更常用）
      • 给模式替换附加条件（ /；）
        • pattern /; condition：满足条件condition时模式匹配
        • Ins→rhs /；condition：满足条件condition时调用规则
  • 重复模式、纯函数
    • 重复模式
      • expr.. ：重复一次或多次
      • expr.. ：重复零次或多次
      • 计数：Count[ ]
      • 列表：Cases[ ]
      • 去除：Except[ ]
      • 删除：DeleteCases[ ]
    • 纯函数
      • 定义：Mathematica中提供了不取函数名定义函数的方式，称为纯粹函数。
      • 优势：可使定义函数和调用一次完成
      • 公式：Function[{变量表}，表达式]
      • 简略形式：表达式 &（表达式中变量为#，#1，#2，##等）
      • 例：定义函数f(u,v)=u^2+v^3，计算f(2,3)
        • 普通方式：f[u_,v_]:=u^2+v^3; f[2,3]
        • 纯函数：Function[{u,v},u^2+v^3][2,3]
        • 纯函数简略形式：（#1^2+#2^3)&[2,3]
  • 函数的属性与属性定义
    • 属性名称
      • 交换律：Orderless
      • 结合律：Flat
      • 恒等：OneInditity
      • 自动分配到表中：Listable
      • 函数定义收到保护：Protected
    • 属性运算函数
      • 显示属性表：Attributes[ ]
      • 设置属性：Attributes[ ]={属性1，属性2，...}
      • 添加属性：SetAttributes[ ]
      • 清除属性：ClearAttributes[ ]
    • 用户一般不要修改Mathematica內部函数的属性。若要增加某函数功能，先去掉保护属性，做出定义后，再恢复保护属性。
• 第六章：Mathematica作图
  • 函数绘图
    • 一维
      • 直角坐标：Plot[ ]
      • 极坐标：PolarPlot[ ]（转换关系：(x,y)=(rcosθ,rsinθ)）
    • 二维
      • 参数：ParametricPlot[ ]
      • 函数：Plot3D[ ]
    • 三维
      • 参数：ParametricPlot3D[ ]（空间曲线/曲面）
      • 球坐标：SphericalPlot3D[ ]（转换关系：(x,y,z)=(rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ)）
    • 相关知识
      • 绘图区间：ImplicitRegion[ ]（设定开区间或不易用xmin,xmax表达的）
      • 绘图选项：在绘图函数的“选项”处使用，例如："Plotstyle→{Thick,Red,Dashed},PlotLegends→”Expressions""等。
      • 重现/重组图形：Show[pic1,pic2,...,picn,选项名→选项值]（想对已画好的图像进一步修改）
  • 数据绘图
    • 二维
      • 数据点集
        • 直角坐标：ListPlot[ ]
        • 极坐标：ListPolarPlot[ ]
      • 曲线：ListLinePlot[ ]
    • 三维
      • 散点图：ListPointPlot3D[ ]
      • 曲面图：ListPlot3D[ ]
  • 图元绘图
    • 二维
      • 公式：Graphics[ ]
      • 图形元素
        • 箭头：Arrow[ ]
        • 弧：Circle[ ]
        • （椭）圆：Disk[ ]
        • 线段：Line[ ]
        • 点：Point[ ]
        • 多边形：Polygon[ ]
        • 矩形：Rectangle[ ]
    • 三维
      • 公式：Graphics3D[ ]
      • 图形元素
        • 球体：Sphere[ ]
        • 立方体：Cuboid[ ]
        • 圆柱体：Cylinder[ ]
        • 圆锥体：Cone[ ]
        • 球：Ball[ ]
        • 三维管体：[ ]
  • 图形动画
    • 交互式演示：Manipulate[ ]
    • 动画演示：Animate[ ]
    • 驻点动画演示：ListAnimate[ ]
  • 播放声音
    • 声音：Play[ ]
    • 播放音符：Sound[ ]
    • 音符表示：SoundNote[ ]
    • 语音：Speak[ ]
  • 等值线和密度图
    • 二维
      • 等值线：ContourPlot[ ]
      • 密度图：DensityPlot[ ]
    • 三维
      • 等值面：ContourPlot3D[ ]
      • 密度图：DensityPlot3D[ ]
  • 数学相关作图
    • 区间可视化：NumberLinePlot[ ]
    • 图示函数区域：RegionPlot(3D)
    • 函数可视化：DiscretePlot[ ]
    • 向量图：VectorPlot(3D)[ ]
    • 流量图：StreamPlot[ ]
    • 图论：GraphPlot3D[ ]
    • 旋转曲面：RevolutionPlot3D[ ]
• 第五章：线性代数
  • 矩阵的定义
    • 矩阵的输入
      • 在Mathematica中，向量与矩阵用列表示，向量是简单的列表，矩阵是列表的列表。
      • 向量
        • Table[expr,{i,a,b,d}]
        • Array[f,n]→{f[1],f[2],...,f[n]}
      • 矩阵
        • Table[expr,{i,ai,bi,di},{j,aj,bj,dj}]
        • 定义m行n列矩阵：Array[f,{m,n}]
        • 将列表用矩阵形式表示
          • A//MatrixForm
          • MatrixForm[A]
        • 矩阵还可通过“菜单→插入→表格/矩阵”完成
        • 例：Table[If[i≤j,i+j,0],{i,5},{j,5}]//MatrixForm
    • 特殊矩阵
      • 对角阵：DiagonalMatrix[{对角线元素列表}]
      • n阶单位阵：IdentityMatrix[n]
      • 稀疏矩阵：SparseArray[ ]
      • 希尔伯特矩阵：HilbertMatrix[ ]（数学变换矩阵，正定，高度病态）
      • 汉克尔矩阵：HankelMatrix[ ]（每条副对角线元素相等）
      • 旋转矩阵：RotationMatrix[θ]
    • 矩阵分量操作
      • 取元素：A[[i,j]]/Part[A,i,j]
      • 取子矩阵：Take[A,i,j]
  • 矩阵的基本运算
    • 算术运算
      • 加法：A+B/Plus[A,B]
      • 减法：A-B/Subtrace[A,B]
      • 负矩阵：-A/Minus[A]
      • 对应元素相乘：A*B/Times[A,B]（不是矩阵乘法）
      • 对应元素相除：A/B或Divide[A,B]（不是逆）
      • 每个元素方幂：A^n/Power[A,n]
      • 矩阵乘法/向量内积：A.B/Dot[A,B]
      • 外积（叉乘）：Cross[A,B]
      • 矩阵方幂：MatrixPower[A,n]（n个A相乘）
      • MatrixExp[A]→
      • 转置：Transpose[A]
      • 共轭转置：ConjugateTranspose[A]
    • 行列式和逆矩阵（方阵）
      • 行列式：Det[A]
      • 逆矩阵：Inverse[A]
      • 余子式：Minors[A]
    • 特征值和特征向量（方阵）
      • 特征多项式：CharacteristicPolynomial[A,x]
      • 特征值：Eigenvalues[A]
      • 特征向量：Eigenvectors[A]
      • 特征值+特征向量：Eigensystem[A]
    • 秩、迹、范数
      • 秩：MatrixRank[A]
      • 矩阵/向量范数：Norm[A,p]（p=1,2,Infinity（缺省为2））
      • 向量v的各项和：Total[v]
      • 迹：Tr[A]（对角元素和）/Tr[A,f]（广义迹f[a11,a22,...,ann]）
  • 矩阵的高级运算
    • 线性方程组求解AX=B
      • 知识储备
        • 当方阵A行列式不为零时，AX=B有唯一解X=A-¹B
        • 当|A|=0或A不是方阵时，可能无解或有无穷多解
        • 有无穷多解时，由基础解系向量的线性组合加一个特解组成线性方程组的全部解
      • 求AX=B的一个特解X：LinearSolve[A,B]
      • 求齐次方程组AX=0的一个基础解系：NullSpace[A]
      • Gauss-Jordan消去法：RowReduce[A]
    • 线性空间相关运算
      • 矩阵的秩（维数）：Rank[{a1,a2,...,an}]
      • 标准正交化：Orthogonalize[{a1,a2,...,an}]
      • 向量单位化：Normalize[v,f]
      • 向量投影：Projection[u,v,f]（u在v方向上的投影，f是线性空间中内积的定义，f缺省时采用标准复内积和L2范数）
    • 矩阵的乘积分解
      • 若尔当分解：JordanDecomposition[A]（对方阵A返回{P,J}，使A=PJP-¹，J是Jordan标准形）
      • LU分解：LUDecomposition[A]（对方阵返回{LU,P,C}使A=P.L.U）