导图社区 初中函数
初中函数知识梳理，包括点的坐标特征、各象限角平分线、平面直角坐标系的距离、三种函数的公式等等，适用于预习和复习。
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初中函数
基本知识
定义
在一个运动的过程中，有两个变量x，y，y随x的变化而变化，称y为x的函数，x是自变量，y是因变量
点的坐标特征
象限
子主题
坐标轴及平行直线
坐标轴
x轴
（x，0）
y轴
（0，y）
原点
（0,0）
平行坐标轴直线
平行x轴
所有点纵坐标相等
平行y轴
所有点横坐标相等
各象限角平分线
一，三象限角平分线
横，纵坐标相等
二，四象限角平分线
横，纵坐标互为相反数
对称及平移
关于x轴对称
（a，b）
（a，-b）
关于y轴对称
（-a，b）
关于原点对称
（-a，-b）
平面直角坐标系的距离
（a，b）到坐标轴及原点
|b|
|a|
根号下（a^2+b^2)
平行坐标轴直线上两点
横坐标之差的绝对值
纵坐标之差的绝对值
补充：两点所连线段的中点
（x1,+x2/2，y1+y2/2）
三种函数
一次函数 y=kx+b（当b=0，y=kx，为正比例函数
图像与性质
变量取值范围
x，y均为全体实数
图像
k决定倾斜方向和斜率，b决定y轴交点
k>0，b>0
草图
所在象限
一，二，三
增减性
y随x增大而增大
k<0，b<0
y随x增大而减小
二，三，四
对称性
无
图像变化：平移（要拆开）
向左平移m
y=k（x+m）+b
向右平移m
y=k（x-m）+b
向上平移m
y=kx+b+m
向下平移m
y=kx+b-m
与坐标轴交点及方程（组）不等式的关系
与坐标轴交点
x轴（-k/b，0）
y轴（0，b）
与一元一次方程的关系
方程kx+b=0的解为一次函数y=kx+b与x轴交点
与二元一次方程组的关系
方程组y=k1x+b1 y=k2x+b2的解为直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2的交点坐标
与一元一次不等式的关系
从“数”上看
kx+b>0的解集为y=kx+b中y>0时x的取值范围
从“形”上看
kx+b>0的解集是函数y=kx+b的图像中位于x轴上方部分的x的取值范围
二次函数 y=ax^+bx+c(a，b，c为常数a≠0）
x：全体实数
y
当a>0时
y≥4ac-b^2/4a
当a<0时
y≤4ac-b^2/4a
a决定开口方向和大小，ab决定对称轴位置，c决定与y轴交点
a>0 b<0 c>0
a<0 b>0 c<0
象限：两个以上
性质
关于对称轴直线x=-b/2a成轴对称
a>0
在x=-b/2a左侧，y随x增大而减小
在x=-b/2a右侧，y随x增大而增大
a<0
在x=-b/2a左侧，y随x增大而增大
在x=-b/2a右侧，y随x增大而减小
解析式的形式
一般式 y=ax^2+bx+c
可看y轴交点（0，c）
对称轴x=-b/2a
顶点式y=a(x-h)^2+h
可看顶点（h，k）
对称轴x=h
交点式y=a(x-x1)(x-x2)
可看与x轴交点（x1，0）（x2,0）
对称轴（x1+x2）/2
图像变化 y=a(x-h)^2+k
平移
y=a(x-h+m)^2+k
右m
y=a(x-h-m)^2+k
上m
y=a(x-h)^2+k+m
下m
y=a(x-h)^2+k-m
旋转对称
绕顶点转180度
y=-a(x-h)^2+k
绕原点转180度
y=-a(x+h)^2-k
沿x轴对称
y=-a(x-h)^2-k
沿y轴对称
y=a(x+h)^2+k
与一次函数的交点、方程的关系
与一次函数交点
一次函数y=kx+n 的图像与二次函数y=ax^2+bx+c的图像的交点由{y=kx+n y=ax^2+bx+c }的解的数目决定
两组不同实数解
两个交点
两组相同实数解
一个交点
无实数解
无交点
与一元二次方程的关系
方程ax^2+bx+c=0的根是二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴的交点横坐标
b^2-4ac>0
抛物线与x轴两个交点
方程有两个不相等实数根
b^2-4ac=0
抛物线与x轴有一个交点
方程有两个相等实数根
b^2-4ac<0
抛物线与x轴无交点
方程无实数根
反比例函数 y=k/x
x≠0的全体实数
y≠0的全体实数
k>0
k<0
k>0，一、三
k<0，二、四
k>0 关于直线y=x轴对称，关于原点中心对称
k<0 关于直线y=-x轴对称，关于原点中心对称
k>0每一象限内y随x增大而减小
k<0每一象限内y随x增大而增大
k的几何意义
在y=k/x上任意一点P（x，y），其中，从点P先x轴y轴作垂线，形成的矩形面积等于|k|，即xy=|k|
关于谁对称谁不变，另一个变相反数，关于原点都变
