数量关系

关于数量关系的思维导图，汇总了代入排除法、倍数特性法、方程法、工程问题、年龄问题、容斥问题、溶液问题、概率问题、最值问题、排列组合、行程问题、几何问题、等差数列的知识。

数量关系

代入排除法

范围

典型题：多位数、年龄、不定方程、余数

看选项选项为一组数

剩两项 只剩两项时,代入一项即得答案

方法

优先排除 尾数、奇偶、倍数

直接代入最值、好算

倍数特性法

基础知识

当B、C为整数时,如果A=BXC,则A能被B、C整除

口诀 3、9看各位数字之和,4看末两位,看末位

因数分解

12=3×4≠2×6

分解时必须互质( 两人不能相互约分)

拆分 拆成两个数的和或差

余数型

若y=ax+b,则y-b能被a整除 若y＝ax-b,则y+b能被a整除

前提:a,x均为整数

比例型

若A/B=m/n则

A是m的倍数,B是的倍数

A±B是m±n的倍数

前提A,B均为整数。m/n是最简整数比

方程法

普通方程

设未知数

设小不设大(避免分数)

设中间量(方便列式)

设谁求谁（避免陷阱。）

出现比例:设份数

不定方程

优先：因子分析法

倍数特性:系数与常数有公因子。（例:7x+3y＝60）

奇偶特性法

奇偶特性：系数一奇一偶。（例:3x+4y=25）

偶＝偶×奇/偶＝偶+偶＝奇+奇 奇＝奇+偶＝奇×奇

代入排除

尾数特性：系数尾数为零。

直接代入选项

不定方程组

未知数一定是整数。利用消元解决。

未知数不一定是整数直接特值法。赋值0解决

盈亏思维和鸡兔思维

工程问题

两者工作问题

赋值（找最小公陪数赋值，以便计算）→P＝W×T建立等式计算

三者工作问题

三者合作两项工程

总功率＝总时间×总效率→将三人看做整体求得总时间→再部分求解

三者分开计算

赋值→整体/部分讨论

年龄问题

常规：方程建立等式→解出

特殊关系：父/母子属相相同→相差24岁 属相顺序：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。 注意：随着年龄增长两者比值一定减小，每12年一次本命年

容斥问题

注意：看题干“达到二者条件”“二种”等用语都为只符合两种条件

溶液问题

溶液混合型

两种溶液混合→两种原溶液浓度与混合溶液浓度差值比与两种溶液量之比成反比（又称十字交叉法 ）或者用方程法找等量关系→求解

溶质不变型 ：原始溶液连续蒸发或者稀释等量的水，求其现有溶质

赋值溶质为浓度的最小公倍数→溶质÷浓度＝溶液求得溶液量→逐步计算（一般蒸发或增加的水量为100）

反复操作型（溶液量不变）

浓度/溶质与剩余的原始溶液在新溶液的占比成正比

概率问题

分类（加法）、分步（乘法）讨论两者区分：能否独立完成（能为分类）

m个相同元素分给n个主体，每人至少分一个则有Cn-1/m-1 分法 若至少有k个先平均分k-1个转化成上述式子

最值问题

最大值最小/最小值最大→其他值都是取与其最小间隔（x-1、x-2、x-3等）

最坏/最好情况用极端思维考虑

排列组合

与概率问题相似。 确定分类、分步→作用方法：捆绑法、整体/部分法、插空法、错位排列法（D3＝2，D4＝9，D5＝44）

行程问题

速度增量和时间增量公式：△V1△t2÷△V2△t1＝V1÷V2＝t2÷t1

直线折返同向相2nS＝（v1+v2）t

几何问题

等差数列

数量关系

代入排除法

范围

典型题：多位数、年龄、不定方程、余数

看选项选项为一组数

剩两项 只剩两项时,代入一项即得答案

方法

优先排除 尾数、奇偶、倍数

直接代入最值、好算

倍数特性法

基础知识

当B、C为整数时,如果A=BXC,则A能被B、C整除

口诀 3、9看各位数字之和,4看末两位,看末位

因数分解

12=3×4≠2×6

分解时必须互质( 两人不能相互约分)

拆分 拆成两个数的和或差

余数型

若y=ax+b,则y-b能被a整除 若y＝ax-b,则y+b能被a整除

前提:a,x均为整数

比例型

若A/B=m/n则

A是m的倍数,B是的倍数

A±B是m±n的倍数

前提A,B均为整数。m/n是最简整数比

方程法

普通方程

设未知数

设小不设大(避免分数)

设中间量(方便列式)

设谁求谁（避免陷阱。）

出现比例:设份数

不定方程

优先：因子分析法

倍数特性:系数与常数有公因子。（例:7x+3y＝60）

奇偶特性法

奇偶特性：系数一奇一偶。（例:3x+4y=25）

偶＝偶×奇/偶＝偶+偶＝奇+奇 奇＝奇+偶＝奇×奇

代入排除

尾数特性：系数尾数为零。

直接代入选项

不定方程组

未知数一定是整数。利用消元解决。

未知数不一定是整数直接特值法。赋值0解决

盈亏思维和鸡兔思维

工程问题

两者工作问题

赋值（找最小公陪数赋值，以便计算）→P＝W×T建立等式计算

三者工作问题

三者合作两项工程

总功率＝总时间×总效率→将三人看做整体求得总时间→再部分求解

三者分开计算

赋值→整体/部分讨论

年龄问题

常规：方程建立等式→解出

特殊关系：父/母子属相相同→相差24岁 属相顺序：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。 注意：随着年龄增长两者比值一定减小，每12年一次本命年

容斥问题

注意：看题干“达到二者条件”“二种”等用语都为只符合两种条件

溶液问题

溶液混合型

两种溶液混合→两种原溶液浓度与混合溶液浓度差值比与两种溶液量之比成反比（又称十字交叉法 ）或者用方程法找等量关系→求解

溶质不变型 ：原始溶液连续蒸发或者稀释等量的水，求其现有溶质

赋值溶质为浓度的最小公倍数→溶质÷浓度＝溶液求得溶液量→逐步计算（一般蒸发或增加的水量为100）

反复操作型（溶液量不变）

浓度/溶质与剩余的原始溶液在新溶液的占比成正比

概率问题

分类（加法）、分步（乘法）讨论两者区分：能否独立完成（能为分类）

m个相同元素分给n个主体，每人至少分一个则有Cn-1/m-1 分法 若至少有k个先平均分k-1个转化成上述式子

最值问题

最大值最小/最小值最大→其他值都是取与其最小间隔（x-1、x-2、x-3等）

最坏/最好情况用极端思维考虑

排列组合

与概率问题相似。 确定分类、分步→作用方法：捆绑法、整体/部分法、插空法、错位排列法（D3＝2，D4＝9，D5＝44）

行程问题

速度增量和时间增量公式：△V1△t2÷△V2△t1＝V1÷V2＝t2÷t1

直线折返同向相2nS＝（v1+v2）t

几何问题

等差数列