专题01 函数-【口袋书】高考数学复习思维导图（人教版）

高中数学函数的思维导图是一种基于数学概念和定理构建的图表，展示了函数的定义、性质、分类、图像和应用等关键要素。函数是高中数学中重要的概念，涉及到数学建模、数据分析等知识领域。在思维导图中，函数被表示为一个方框，其中包含函数名、定义域、值域、图像和性质等要素。 高中数学函数的思维导图主要包含以下要素： 函数定义：展示了函数的定义、自变量、函数值、定义域和值域等概念。 函数的图像：展示了常见函数的图像，如线性函数、指数函数、对数函数、三角函数等。 函数的性质：展示了函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性和极值等性质，以及函数的导数和微分等概念。 函数的分类：展示了函数的基本类型、初等函数、反三角函数、变量代换等分类方式。 函数的应用：展示了函数在数学建模、物理学、化学等领域中的应用，如求解最值、优化问题、模拟实验等。 高中数学函数的思维导图可以帮助学生快速理清函数的概念和性质，提高数学专业素养和解题能力，同时更好地应用数学知识于实际问题中。

函 数

定 义 域

概念

自变量的取值范围

具体 函数 有解 析式

分式

分母不等于0

根号

开偶次方根，被开方数大于等于0

对数

对数函数真数部分大于0

底数大于0且不等于1

指数

底数大于0且不等于1

正切



0次方



实际应用题

考虑解析式有意义且考虑实际问题有意义

抽象 函数 无解 析式

口诀

对应关系不变，同括号等范围

常 见 形 式





求参数



值 域

概念

因变量的取值范围

方 法

单 调 性

基本函数

一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数

复合函数

形如f[g(x)]，先求出g(x)的范围，再根据f(x)的单调性

换 元 法

换t





换三 角函 数





分 离 常 数 法

模型一





模型二



基本不等式实际是对勾函数的特例，可以考虑利用对勾 函数的性质或者求导求单调性



模型三





几何法

解析式表示的斜率、截距、距离等几何意义

图像法

含有一个或两个绝对值的解析式

解 析 式

待定 系数 法

使用条件

已知函数类型

解题 思路

（1）设出含有待定系数的解析式 （2）将已知条件代入，建立方程(组)，通过 解方程(组)求出相应的待定系数

换 元 法

使用条件

形如y＝f(g(x))的函数

解题 思路

（1）令t＝g(x) ， 求出x＝φ(t)，换元注意给新元t范围 （2）x＝φ(t)将代入表达式求出f(t) （3）将t换成x得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围

配 凑 法

使用条件

形如f(g(x))＝F(x)

解题 思路

（1）由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的 表达式， （2）以x替代g(x)，得f(x)的解析式，同时注意给出x的范围

解方 程组

使用条件



解题 思路

可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组， 通过解方程组求出f(x）

对 称 性

对 称 轴

概 念

如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能 够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为 函数的对称轴

常 见 类 型

自身 对称



对称轴是两个横坐标的中点

两函 数间



对 称 中 心

概 念

如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原 函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称， 该点称为该函数的对称中心

常 见 类 型

自身 对称

对称中心为函数对称两点的中点，可以利用中点坐标

两函 数间





单 调 性

概 念

增 函 数

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自 变量的值x 1 ，x 2 ，当x 1 <x 2 时，都有f(x 1 )<f(x 2 )

减 函 数

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自 变量的值x 1 ，x 2 ，当x 1 <x 2 时，都有f(x 1 )>f(x 2 )

特征

（1）是任意性；（2）是有大小，即x 1 <x 2 (x 1 >x 2 )； （3）是同属于一个单调区间，三者缺一不可

注意 事项

单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示

有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接， 也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接

方法

定义 法

对象

一般用于抽象函数，其他情况比较少用

解法

取值、作差/作商、变形、定号、结论

导数 法

对象

有解析式且没有函数绝对值的函数

解法



图 像 法

对象

一般适用含有绝对值的函数

解法

去绝对值---分段函数----画出图像

常见 类型





性 质 法

对象

6种基本函数及其加减形式

解法



复 合 函 数

对象

形如f[g(x)]

解法

(1)确定函数的定义域． (2)将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)． (3)分别确定这两个函数的单调区间． (4)口诀：同增异减求区间

题型

求单调区间（或单调性）

按上面”方法“进行求解

比大小



解不等式

最值（值域）

求参数

分段函数的单调性

每段函数的单调性符合题意

自变量分界点的函数的大小关系

复合函数求参数，注意要满足定义域要求

奇 偶 性

概 念

偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)

奇函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)

判 断 方 法

定义法



图像法



常 见 结 论

如果一个奇函数f(x)在原点处有定义， 即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0

奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性

偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性



同性加减得同性，异性乘除为奇，同性乘除为偶



题型

奇偶性的判断

利用奇偶性求解析式

利用奇偶性求参数

奇偶性与单调性的综合

周 期 性

概念

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T， 使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x) 那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期

最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期

常见 形式



口诀：同性两距离，异性四距离 性：单指对称性，对称性包括对称轴和对称中心 同性：周期为两对称轴（或两对称中心）的距离的2倍 异性：周期为一对称轴和一对称中心距离的4倍