导图社区 5、多元函数微分学
多元函数微分学
细枝末节
汤讲义
连续、偏导存在、可微、连续可偏的关系
多元连续
偏增量与偏导
可微与全微分形式
武讲义
可微的4种等价形式
极限为0,则可微
可微判定
充分条件:偏导连续
必要条件:偏导存在
定义判定:极限为0,则可微
连续、偏导存在、可微、连续可偏的关系及相应的反例(武讲义P146)
个人总结
二阶偏导连续:混合偏导谁先谁后,不重要
看到抽象函数f(x,y)重极限表达式
构造满足重极限的具体函数
多元函数保号性分析:考察极大极小值(常用)
凑可微定义(必需知道f(0,0)取值):
重极限表达式的充分必要条件:重极限函数=重极限值+高阶无穷小
经典反例
连续:f(x,y)=|x|+|y|
可微:f(x,y)=1
多元微分求偏导:对称性(简化计算量)
性质讨论
题型
判断多元函数连续
方法:
判断分界点的重极限与函数值是否相等
一定是f(x,y)求重极限,不能先代后求
保证全路径,否则只判断了无数路径中的其中一个路径是否连续
错误示例(先代后求)
判断偏导存在
判断依据:对x的偏导与对y的偏导都存在(不要求相等)
方法
定义法
一阶:
二阶:
先代后求(一阶偏导):
求二元偏导实质是求一元导数
判断可微
前提:可微的定义式需要偏导,因此要先求出偏导
方法
充分条件:偏导连续则可微
必要条件:偏导存在
定义法:极限为0,则可微
判断多元偏导连续
方法:
两个偏导在分界点的重极限都存在(不要求相等)
要保证全路径,否则只分析了无数路径中的其中一个路径
错误示例
前提:先求出对x的偏导与对y的偏导
核心:求重极限或证重极限不存在
1、由分子分母阶数,初步判断重极限是否存在
同阶:不存在
分子高阶:存在
分子低阶:不存在
2、分支
求重极限
非零公因子先算
放缩夹逼:加绝对值
下界:
上界
去分式:
等价代换:
无穷小*有界=0
sin[...]、cos[...]
常见的有界函数
核心:将0/0型的分式转为整式
证重极限不存在:只要证明不同路径的极限不相同(极限唯一性)
偏导与全微分
具体函数(显函数)
思维
求全微分本质就是求偏导
题干若给出全微分,也就知道偏导
已知f(x,y):求偏导或全微分
具体点(x0,y0)处的偏导与微分
一般函数
一般方法:先求偏导,然后把具体点带入
先代后求
对x求偏导
1、先把y的具体值带入
2、求导后再将x的具体值带入
对y求偏导
1、先把x的具体值带入
2、求导后再将y的具体值带入
分段函数:用定义求偏导
遇到高阶求偏导,只能在最后一阶求导时可以使用
n阶偏导:将另外一个变量看成常数,从而转换成一元n阶导
函数表达式含ρ:
凑可微定义
非具体点(x,y)偏导与全微分
一般函数:直接求偏导
幂指函数
指数化后,直接求偏导
对数化后,直接求偏导
复合函数法求偏导:把底数和指数,看成两个复合函数
已知偏导或全微分:求原函数f(x,y)
已知偏导
1、偏积分
2、消去偏积分产生的偏常数
题干提供该阶偏导
1、将题干提供的该阶偏导先代后求
2、两两比较
该阶题干未提供
自己根据题干提供的先代后求多元函数,求该阶偏导,两两比较
偏常数先不求出,一直偏积分到最后,根据题干分析得出
偏积分还原到某阶
已知全微分
隐藏条件:知道全微分,即知道两个偏导
方法
偏积分
1、将对x求偏导的偏导进行还原,还原产生一个偏常数
2、将含偏常数的还原结果对求y偏导,产生的结果与已知的对y求偏导的偏导进行比较,可得出偏常数求导结果
3、将偏常数求导结果进行还原,还原结果含常数C
4、最后得到的f(x,y)含常数C
凑微分(有一定的局限性):
复合函数 z[f(x,y),g(x,y)]
一般复合求偏导
常规:对最底层变量求偏导
特殊:对中间变量求偏导
一般方法
1、换元
2、求导
特殊方法
仅限于具体点
1、由中间变量具体值,算出相对应的最底层变量的具体值
2、复合函数两边对底层变量求偏导
3、联立
变换求偏导
情况
核心:抓住函数字母,画出函数的变量树
运算极繁琐,应有心理准备
题型
加入新的中间变量
一般方法:原变量做底层变量,新变量做中间变量
反解法:
原变量做中间变量,新变量做底层变量
在原函数之上,再添加新的函数:新函数两边对底层变量求偏导
新函数+新中间变量
1、新函数两边对底层变量求偏导
2、新函数对底层变量求偏导展开:转为新函数对中间变量求偏导
隐函数
隐函数存在定理
隐函数方程:F(x,y,z)=0 判断点(x,y,z)领域内是否存在隐函数
一个方程
形式:A 由 方程B 确定
只对B求偏导
A:表明谁是函数,谁是自变量
B:实际进行求导的方程
例如:z(x,y) 由 F(x,y,z)确定
方法
公式法:改造等式,使F(……)=0
等式两边求微分:微分形式不变性
所有字母都看成变量字母,不存在函数字母
等式两边求偏导:需分清自变量与函数字母(包含自变量)
多个方程
形式:A,B,C由 方程D 确定
参与求偏导的方程:A、B、D
方法
对题干的方程求偏导
1、找出题干的所有字母
2、分析谁是函数字母,谁是变量字母
有多少方程,就有多少函数字母: A、B、C三个方程,三个函数字母
3、对方程A、B、D求偏导
4、克拉默法则求解所需结论
非齐次方程唯一解公式
微分形式不变性:对方程A、B、D两边求微分,可以回避分析自变量
核心:对什么方程求偏导,对什么方程求微分
极值与最值
无条件极值
题型
显函数无条件极值(一般题型):算出驻点坐标
隐函数无条件极值
一般方法
2、算出驻点后,还需要将驻点回代原方程,算出函数值
3、继续求二阶偏导,按一般方法处理
黑塞矩阵法
1、改造等式,令F(x,y,z)=0
2、求驻点及z
求出驻点x和y,回代方程求出z
3、求二阶偏导
AC-B^2
首要问题:抓住谁是函数字母,谁是变量字母
重极限型无条件极值
题型:已知某多元函数重极限表达式,求另一个多元函数无条件极值
方法:重极限表达式充分必要条件
方法:分析该多元函数的性质
构造满足重极限的具体函数
多元函数保号性分析:考察极大极小值(常用)
凑可微定义(必需知道f(0,0)取值):
重极限表达式的充分必要条件:重极限函数=重极限值+高阶无穷小
方法
驻点分析法(一般方法)
1、函数求偏导,得驻点
偏导结果只包含一个变量:各自解出,最后结果两两组合
偏导结果含多个变量
偏导联立法
1、偏导结果联立,形成若干个关系式
2、将关系式代入其中一个偏导结果,算出驻点
代入法
1、通过其中一个偏导结果,得出关系式
2、将关系式代入另一个偏导结果,求出驻点
结果分析
结果>0
A>0,有极小值
A<0,有极大值
结果<0:无极值
结果=0
方法
1、计算该驻点的函数值:f(x0,y0)=?
2、令y=...:代入f(x,y)表达式,二元化一元
y=...是它本身的一条路径
3、分析新表达式驻点函数值与驻点的去心区域内的函数值大小
判定
有极值:驻点去心区域,驻点函数值恒大或恒小于区域内的函数值
无极值:驻点去心区域,驻点函数值不恒大或不恒小于区域内函数值
单驻点+一阶偏导比较复杂:求二阶偏导时,可以先代后求,简化计算
函数配方法(有一定的局限性):
适合方程次幂两次
最大最小值
1、根据约束条件,画出相应区域
2、求出区域内的极值(即无条件极值)
如果第一步算出的驻点在边界上,即不在区域内,不讨论
驻点不在区域内:不用再讨论,最值在边界上取得
驻点在区域内:直接算出驻点函数值即可,不必判断极大极小
3、求出边界极值(即条件极值)
确定函数
目标函数
特征:需要去求最值的函数
常见几何
曲线上的点到原点的距离
曲面上的点
到平面的距离
1、XOY平面:|z|
2、XOZ平面:|y|
3、YOZ平面:|x|
边界函数(即约束条件)
特征:所求点在某曲线上
类型
求f(x,y,z)在g(x,y,z)下的最值
求曲线g(x,y,z)上的点到坐标原点的距离
g为边界函数
方法
转为一元函数极值(边界约束简单)
1、边界约束条件g(x,y)=0,可以写成y=f(x)的形式
2、把y=f(x)带入目标函数,从而转为一元函数极值
参数方程法(适合椭圆)
1、边界约束条件为参数方程或改写成参数方程形式
2、参数方程带入目标函数,转为求一元函数极值
拉格朗日乘数法(一般方法)
1、初始化
1、建立拉格朗日方程:F(x,y,λ)=目标函数+λ(约束条件)
2、分析拉格朗日方程
目标函数和约束条件,是否同时有轮换对称性
是否是齐次函数
2、目标函数简化
目标函数公因数为常系数:常系数舍去
边界函数替换方程中目标函数部分
3、求偏导
计算技巧
特殊技巧
优先分析方程是否满足特性
轮换对称性
性质:目标函数与约束条件的x和y对调,目标函数与约束条件不变
方法
1、直接①-②
2、减法结果凑:(x-y)(...)=0
长除法
齐次函数
前提
1、目标函数f(x,y)是m次齐次函数
2、约束条件g(x,y)是n次齐次函数
m、n≠0
3、约束条件可以转化成g(x,y)=c形式
举例:2次齐次:f(x,y)=x^2+y^2+xy
方法
2、①+②:得到目标函数与λ的关系
3、根据第三步的关系式, 求目标函数极值转换为求λ的最大最小值
该方法可以快速求出极值,但不方便求极点坐标
4、解出λ
①②克拉默法则
1、①②使x、y作未知数,λ表达式作系数
2、判断x、y皆为0时,是否满足③
3、零解不满足③,即x、y有非零解,故系数行列式=0
常规方法
解出λ
1、λ=0,尝试求出x、y、z
2、λ≠0
1、①②使x、y作未知数,λ表达式作系数
2、判断x、y皆为0时,是否满足③
2、零解不满足③,即x、y有非零解,故系数行列式=0
克拉默法则,解出λ
消去λ:移项配齐
1、将①②含λ的系数统一移到等式右边
2、将λ提取出来,系数合并,形成新的①②
3、使①②等式其中一边相同:分别乘某值
4、①②联立建立等式,消去λ
4、比较无条件极值与条件极值的大小
应用题
2、函数求二阶偏导