4、常微分方程

数二高等数学，汇总了微分方程与解、综合题、应用题的是，大家也可以用于备考复习。

微分方程

• 细枝末节
  • 计算过程中需要开方：含根号一边加上正负号，根据特解判断正负
  • 曲线光滑：表明曲线连续可导
  • 非齐次微分方程
    • 前置条件：y1、y2、y3...yn是非齐次微分方程的解
    • 若k1+k2+...+kn=0，则f(x)是齐次方程的解
    • 若k1+k2+...+kn=1，则f(x)是非齐次方程的解
  • 积分还原
    • 产生对数
      • 真数是否加绝对值
        • 求通解
          • 分离变量法
            • 不加绝对值
              • 可以确定真数恒正/恒负：
              • 最后还原时，等式两边都只含对数
            • 加绝对值：其余情况都加
          • 公式法
            • 不加绝对值
              • 可以确定真数恒正/恒负
              • • 次方不是无理数
                • 次方为分式，且分母是奇数
            • 加绝对值
              • 不符合情况时
            • 真数次方或对数系数
        • 求特解
          • 1、找出使绝对值为0的点，然后拆掉绝对值，形成分段函数
          • 2、判断所求特解的点位于什么区间
          • 3、特解点所在的区间就是我们所需的表达式s
      • 等式只有一边出现对数：
        • 等式另一边改造成对数+对数c
      • 分式+对数处理
        • 1、两边相乘一个数，把分式转为整式
        • 2、转为整数后，才加上C（或对数C）
    • 产生根号
      • 平方差公式：不含f(x)的导数
        • 1、根号一侧凑平方差公式
        • 2、不含根号一侧凑其倒数
        • 3、①②联立消去含根号项
      • 求导法：含f(x)的导数
        • 1、再求一次导
        • 2、①②联立，消去根号
• 微分方程与解
  • 根据微分方程求通解、特解
    • 类型
      • 求通解
      • 求特解
        • 1、必须先算出通解
        • 2、带入特解值，从而算出常数c
    • 解题步骤
      • 1、由微分方程最高阶阶数，初步锁定类型
        • 最高阶1阶
          • 可分离变量
          • 齐次方程
          • 一阶线性微分方程
        • 最高阶2阶及以上
          • 高阶可降阶
            • 1、系数为线性方程
            • 2、不缺y的一阶导（必要条件）
            • 3、缺y或缺x
          • 常系数
            • 1、系数为常数
            • 2、可以缺y的一阶导
            • 3、不缺y不缺x
      • 2、微分方程是否为标准形
        • 标准形
          • 可分离变量
          • 齐次方程
          • 一阶线性微分方程（公式法）
            • 一阶线性齐次方程
            • 一阶线性非齐次方程
          • 高阶线性微分方程
            • 高阶可降阶（系数为线性方程）
              • 类型
                • 缺x
                • 缺y
                • 方程不可以缺少y的一阶导
              • 方法
                • 还原降阶法
                  • 真题常用方法，一般计算会更简便
                  • 方法
                    • 1、高阶导一侧寻找原函数
                      • 微分中值定理构造辅助函数思路（还原法）
                      • 原函数可以只有一项：
                    • 2、等式两边积分还原，一边加上常数c：微元为dx
                  • 使用范围
                    • 等式另一边为常数或含x的表达式：
                    • 等式另一边为y某阶导数：
                    • 方程阶数存在相差两阶，不适合用还原降阶法，用换元降阶法
                    • 只有当等式另一边为含x表达式或y某阶导数， 等式两边才便于积分
                • 换元降阶法（一般方法）
                  • 缺y：
                  • 缺x：
            • 非常系数
              • 一般只考解的结构和性质
              • x、y地位互换
                • 一阶导数互换：
                • 二阶导数互换：
            • 常系数
              • 常系数齐次微分方程
              • 常系数非齐次微分方程
                • 方法
                  • 1、先解出常系数齐次方程通解
                  • 2、根据条件，设非齐次特解
                  • 3、求出所设非齐次特解的未知数
                    • 代入法：特解代入非齐次方程
                    • 微分算子法
                    • 三角函数次幂必须1次，否则降幂
                  • 4、非齐次通解=齐次通解（含常数C）+非齐次特解（不含未知参数）
                • 情况
                  • 如果齐次方程的λ含未知参数，必须讨论参数的取值
                  • 若求满足初始条件特解：消去非齐次通解中齐次通解的常数C
        • 非标准形转为标准形
          • 高阶可降阶
            • 还原降阶法：寻找原函数，即辅助函数（微分中值思路）
            • 换元降阶法：根据缺x，还是缺y进行换元
          • 一阶
            • 方程微元已分离
              • 分离变量法：等式两边直接积分
              • 聚拢微元：
            • 消去方程最高阶导数前的系数
              • 系数是变量字母
                • 1、等式两边除以该系数
                • 2、方程转为齐次方程
                • 两边除变量字母，不用考虑变量字母是否为0
              • 系数是函数字母
                • 情况
                  • 最高阶导数前有系数（显式）：
                  • 隐式（需要自己转化）：
                • 求导逆用（换函数微元）：
            • 一阶导为平方形式：等式两边开根号
              • 根据题干条件，去掉正负号
              • 题干没有提供条件，保留正负号
              • 常见于微分方程几何应用题
            • 通用方法
              • 变量代换：
              • x、y地位互换（最后一招）
                • 适用：分母为和差形式
                • 一阶导数互换：
                • 二阶导数互换：
      • 3、根据相应的标准形式采取相应的办法
  • 根据已知特解求原方程（二阶）
    • 一阶非齐次线性方程
      • 方法
        • 齐次方程法
          • 2、齐次解/齐次特解代入齐次方程结构，求出p(x)
          • 3、将非齐次特解代入非齐次方程结构，算出q(x)
        • 通解求导法
          • 1、根据齐次解和非齐次解，构造通解：
          • 2、根据通解求出一阶导
          • 3、联立一阶导和通解，消去常数C即可
    • 二阶常系数非齐次方程
      • 分析非齐次方程形态：齐次方程 = f(x)
      • 非齐次方程未给出
        • 特征方程法（一般方法）
          • 1、找出两个齐次解，构造特征方程，从而构造齐次方程
            • 找几个是看阶数
            • 1、非齐次特解两两做差，得出两个齐次解
            • 2、根据两个齐次解，得齐次方程特征值
            • 3、根据特征值，得齐次方程
              • 特征值为实数
              • 特征值为虚数
          • 2、构造非齐次方程
            • 1、设f(x)，令：齐次方程 = f(x)
            • 2、将一个非齐次特解，带入非齐次方程，从而算出f(x)
          • 3、齐次方程 = f(x)
        • 通解求导法（不建议）
          • 1、构造通解
            • 1、非齐次特解两两做差，得出两个齐次解
            • 2、两个齐次解和一个非齐次解组合通解
          • 2、通解求导，解出符合题意的方程
            • 1、求通解的一阶导和二阶导
            • 2、三个方程联立，消去c1、c2
          • 先求通解，再求方程
      • 非齐次方程含未知参数
        • 特征方程法（一般方法）
          • 1、非齐次解拆分
            • 1、找出齐次方程的特征值
            • 2、找出非齐次特解
          • 2、求出未知参数
            • 1、根据特征值构造齐次方程，求出a、b
            • 2、将非齐次特解代入非齐次方程，求出c
        • 通解求导法（不建议）
          • 1、根据非齐次方程表达式，求相应阶数非齐次解的导
          • 2、将求导结果带入非齐次方程，解出未知参数
    • 二阶线性非齐次方程
      • 分析非齐次方程形态：齐次方程 = f(x)
      • 通解求导法
        • 1、构造通解
          • 1、非齐次特解两两做差，得出两个齐次解
          • 2、两个齐次解和一个非齐次解组合通解
        • 2、通解求导
          • 1、求通解的一阶导和二阶导
          • 2、三个方程联立，消去c1、c2
• 综合题
  • 特点：根据等式，求f(x)
  • 注意
    • 1、对原式以及各阶导数，应求出相应特殊值，从而最后消去常数c
    • 2、答案最后不是通解形式，而是一个确定函数，要算出常数c
    • 求的是f(x)特解
  • 题型
    • 变上限积分方程
      • 方法：等式两边求导，直到等式两边没有积分
        • 将变上限积分出来：
        • 改造原式：
        • 利用原式，替换无法消去的变上限：
        • 简化计算技巧
      • 类型
        • 变量相同：微分方程求出f(x)
        • 不同阶且变量不同
          • 1、再求一次导
          • 2、换元，替换为同一变量
          • 3、微分方程法，求出f(x)
        • 同阶但变量不同：
    • 函数方程
      • 题目特征
        • 1、等式两边不含变上限积分
        • 2、题干没有告知f(x)可导
        • 因此我们不能直接求导
      • 方法：构造导数的定义式
        • 1、构造导数的极限式定义
        • 2、我们可以求出导数定义式的极限
        • 即证明出f(x)可导
        • 3、从而我们得出：
        • 4、微分方程求f(x)
    • 偏导+微分方程
      • 题型特征
        • 1、题干表达式：z=f(x,y)或f(r)
          • r是关于x、y的表达式
        • 2、题干提供z的偏导表达式
      • 1、z=f(x,y)：表达式两边求偏导
      • 2、将偏导结果替换题干的偏导表达式
      • 3、微分方程求解
      • 抓变量，画变量树
    • 核心：使等式两边出现导数，然后微分方程求f(x)
    • 换元+微分方程
      • 1、原微分方程的f(x)对x求导
      • 2、现题干加入新的中间变量u=u(x)
      • 3、微分方程改造
        • 1、含x的变量用u替换
        • 2、y(x)对x求导转换为y对u求导，u对x求导
• 应用题
  • 几何应用
    • 曲线已知
      • 1、构造切线方程：得出切点x与y关系式
        • 1、x、y：切点位置
        • 2、x0、y0：根据题干条件，填入已知点
        • 3、斜率k=曲线求导
          • 一般曲线y(x)
          • 参数方程：斜率K含参数t
      • 2、算出切点坐标
        • 切点：定点
        • 一般曲线y(x)
          • 1、切线方程与曲线联立
          • 2、解出切点坐标
        • 参数方程
          • 1、参数方程斜率k含参数t
          • 2、算出t：将切线表达式中的x、y用参数方程x(t)、y(t)替换
          • 3、将t回代参数方程算出x和y
    • 曲线未知
      • 1、根据题意建立方程
        • 面积方程
          • 特征
            • 1、曲线大致方向可以知道
            • 2、题干有面积相关条件
          • 1、画图，寻找明显的图像：例如梯形
          • 2、曲线f(x)的面积用变上限积分表示
          • 3、根据变上限或求导后的结果，确定函数值，从而消去常数C
        • 斜率方程
          • 1、设曲线为y(x)
          • 2、设曲线上任一点/切点为：P(x,y)
          • 3、设点Q为(x0,y0)
          • 1、PQ一定含有某种关系，例如PQ为y(x)切线或法线 2、点Q的x0和y0，一般位于x轴或y轴，因此其中有一个会为0
          • 4、建立斜率方程：
            • 因为x0或y0其中一个为0， 因此通过斜率方程，可以得到x0或y0一个含x和y的表达式
          • 5、将x0或y0的表达式代入相关等式，消去该等式中的x0或y0
        • 曲线任一点的切线的倾角α
      • 2、微分方程解f(x)
      • 目的：求曲线f(x)
  • 物理应用
    • 变化率
      • 题干：y对x的变化率与xxx成正比
      • 方法
        • 1、根据题干：获取初始值
        • 2、建立变化率方程
          • 1、设比例系数为k，且k>0
          • 2、根据函数增减
            • 函数值增加：dy/dx=kxxx
            • 函数值减少：dy/dx=-kxxx
        • 3、微分方程解y(x)
        • 4、根据题干初始条件，解出常数C
    • 牛顿第二定律
      • 前提
        • 物理公式：F=ma
        • 题目特征：物体运动
      • 方法
        • 1、分析运动过程中物体所受的作用力F
        • 2、建立牛二方程：
        • 3、解微分方程，并根据初始条件解出常数C
    • 混合问题
      • 题目特征：水池进水出水问题
      • 方法
        • 1、确定t时刻污染物总量为m
        • 2、计算dt时间内流入流出的污染物
          • 流入：污染物浓度*流入量*dt
          • 流出：污染物浓度*流出量*dt
        • 3、建立微分方程：dm=（流入浓度-流出浓度）dt
        • 4、解微分方程，并根据初始条件解出常数C