导图社区 4、常微分方程
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教育学考研：教育学原理第八章教学内容整理
微分方程
细枝末节
计算过程中需要开方：含根号一边加上正负号，根据特解判断正负
曲线光滑：表明曲线连续可导
非齐次微分方程
前置条件：y1、y2、y3...yn是非齐次微分方程的解
若k1+k2+...+kn=0，则f(x)是齐次方程的解
若k1+k2+...+kn=1，则f(x)是非齐次方程的解
积分还原
产生对数
真数是否加绝对值
求通解
分离变量法
不加绝对值
可以确定真数恒正/恒负：
最后还原时，等式两边都只含对数
加绝对值：其余情况都加
公式法
可以确定真数恒正/恒负
次方不是无理数
次方为分式，且分母是奇数
加绝对值
不符合情况时
真数次方或对数系数
求特解
1、找出使绝对值为0的点，然后拆掉绝对值，形成分段函数
2、判断所求特解的点位于什么区间
3、特解点所在的区间就是我们所需的表达式s
等式只有一边出现对数：
等式另一边改造成对数+对数c
分式+对数处理
1、两边相乘一个数，把分式转为整式
2、转为整数后，才加上C（或对数C）
产生根号
平方差公式：不含f(x)的导数
1、根号一侧凑平方差公式
2、不含根号一侧凑其倒数
3、①②联立消去含根号项
求导法：含f(x)的导数
1、再求一次导
2、①②联立，消去根号
微分方程与解
根据微分方程求通解、特解
类型
1、必须先算出通解
2、带入特解值，从而算出常数c
解题步骤
1、由微分方程最高阶阶数，初步锁定类型
最高阶1阶
可分离变量
齐次方程
一阶线性微分方程
最高阶2阶及以上
高阶可降阶
1、系数为线性方程
2、不缺y的一阶导（必要条件）
3、缺y或缺x
常系数
1、系数为常数
2、可以缺y的一阶导
3、不缺y不缺x
2、微分方程是否为标准形
标准形
一阶线性微分方程（公式法）
一阶线性齐次方程
一阶线性非齐次方程
高阶线性微分方程
高阶可降阶（系数为线性方程）
缺x
缺y
方程不可以缺少y的一阶导
方法
还原降阶法
真题常用方法，一般计算会更简便
1、高阶导一侧寻找原函数
微分中值定理构造辅助函数思路（还原法）
原函数可以只有一项：
2、等式两边积分还原，一边加上常数c：微元为dx
使用范围
等式另一边为常数或含x的表达式：
等式另一边为y某阶导数：
方程阶数存在相差两阶，不适合用还原降阶法，用换元降阶法
只有当等式另一边为含x表达式或y某阶导数， 等式两边才便于积分
换元降阶法（一般方法）
缺y：
缺x：
非常系数
一般只考解的结构和性质
x、y地位互换
一阶导数互换：
二阶导数互换：
常系数齐次微分方程
常系数非齐次微分方程
1、先解出常系数齐次方程通解
2、根据条件，设非齐次特解
3、求出所设非齐次特解的未知数
代入法：特解代入非齐次方程
微分算子法
三角函数次幂必须1次，否则降幂
4、非齐次通解=齐次通解（含常数C）+非齐次特解（不含未知参数）
情况
如果齐次方程的λ含未知参数，必须讨论参数的取值
若求满足初始条件特解：消去非齐次通解中齐次通解的常数C
非标准形转为标准形
还原降阶法：寻找原函数，即辅助函数（微分中值思路）
换元降阶法：根据缺x，还是缺y进行换元
一阶
方程微元已分离
分离变量法：等式两边直接积分
聚拢微元：
消去方程最高阶导数前的系数
系数是变量字母
1、等式两边除以该系数
2、方程转为齐次方程
两边除变量字母，不用考虑变量字母是否为0
系数是函数字母
最高阶导数前有系数（显式）：
隐式（需要自己转化）：
求导逆用（换函数微元）：
一阶导为平方形式：等式两边开根号
根据题干条件，去掉正负号
题干没有提供条件，保留正负号
常见于微分方程几何应用题
通用方法
变量代换：
x、y地位互换（最后一招）
适用：分母为和差形式
3、根据相应的标准形式采取相应的办法
根据已知特解求原方程（二阶）
一阶非齐次线性方程
齐次方程法
2、齐次解/齐次特解代入齐次方程结构，求出p(x)
3、将非齐次特解代入非齐次方程结构，算出q(x)
通解求导法
1、根据齐次解和非齐次解，构造通解：
2、根据通解求出一阶导
3、联立一阶导和通解，消去常数C即可
二阶常系数非齐次方程
分析非齐次方程形态：齐次方程 = f(x)
非齐次方程未给出
特征方程法（一般方法）
1、找出两个齐次解，构造特征方程，从而构造齐次方程
找几个是看阶数
1、非齐次特解两两做差，得出两个齐次解
2、根据两个齐次解，得齐次方程特征值
3、根据特征值，得齐次方程
特征值为实数
特征值为虚数
2、构造非齐次方程
1、设f(x)，令：齐次方程 = f(x)
2、将一个非齐次特解，带入非齐次方程，从而算出f(x)
3、齐次方程 = f(x)
通解求导法（不建议）
1、构造通解
2、两个齐次解和一个非齐次解组合通解
2、通解求导，解出符合题意的方程
1、求通解的一阶导和二阶导
2、三个方程联立，消去c1、c2
先求通解，再求方程
非齐次方程含未知参数
1、非齐次解拆分
1、找出齐次方程的特征值
2、找出非齐次特解
2、求出未知参数
1、根据特征值构造齐次方程，求出a、b
2、将非齐次特解代入非齐次方程，求出c
1、根据非齐次方程表达式，求相应阶数非齐次解的导
2、将求导结果带入非齐次方程，解出未知参数
二阶线性非齐次方程
2、通解求导
综合题
特点：根据等式，求f(x)
注意
1、对原式以及各阶导数，应求出相应特殊值，从而最后消去常数c
2、答案最后不是通解形式，而是一个确定函数，要算出常数c
求的是f(x)特解
题型
变上限积分方程
方法：等式两边求导，直到等式两边没有积分
将变上限积分出来：
改造原式：
利用原式，替换无法消去的变上限：
简化计算技巧
变量相同：微分方程求出f(x)
不同阶且变量不同
2、换元，替换为同一变量
3、微分方程法，求出f(x)
同阶但变量不同：
函数方程
题目特征
1、等式两边不含变上限积分
2、题干没有告知f(x)可导
因此我们不能直接求导
方法：构造导数的定义式
1、构造导数的极限式定义
2、我们可以求出导数定义式的极限
即证明出f(x)可导
3、从而我们得出：
4、微分方程求f(x)
偏导+微分方程
题型特征
1、题干表达式：z=f(x,y)或f(r)
r是关于x、y的表达式
2、题干提供z的偏导表达式
1、z=f(x,y)：表达式两边求偏导
2、将偏导结果替换题干的偏导表达式
3、微分方程求解
抓变量，画变量树
核心：使等式两边出现导数，然后微分方程求f(x)
换元+微分方程
1、原微分方程的f(x)对x求导
2、现题干加入新的中间变量u=u(x)
3、微分方程改造
1、含x的变量用u替换
2、y(x)对x求导转换为y对u求导，u对x求导
应用题
几何应用
曲线已知
1、构造切线方程：得出切点x与y关系式
1、x、y：切点位置
2、x0、y0：根据题干条件，填入已知点
3、斜率k=曲线求导
一般曲线y(x)
参数方程：斜率K含参数t
2、算出切点坐标
切点：定点
1、切线方程与曲线联立
2、解出切点坐标
参数方程
1、参数方程斜率k含参数t
2、算出t：将切线表达式中的x、y用参数方程x(t)、y(t)替换
3、将t回代参数方程算出x和y
曲线未知
1、根据题意建立方程
面积方程
特征
1、曲线大致方向可以知道
2、题干有面积相关条件
1、画图，寻找明显的图像：例如梯形
2、曲线f(x)的面积用变上限积分表示
3、根据变上限或求导后的结果，确定函数值，从而消去常数C
斜率方程
1、设曲线为y(x)
2、设曲线上任一点/切点为：P(x,y)
3、设点Q为(x0,y0)
1、PQ一定含有某种关系，例如PQ为y(x)切线或法线 2、点Q的x0和y0，一般位于x轴或y轴，因此其中有一个会为0
4、建立斜率方程：
因为x0或y0其中一个为0， 因此通过斜率方程，可以得到x0或y0一个含x和y的表达式
5、将x0或y0的表达式代入相关等式，消去该等式中的x0或y0
曲线任一点的切线的倾角α
2、微分方程解f(x)
目的：求曲线f(x)
物理应用
变化率
题干：y对x的变化率与xxx成正比
1、根据题干：获取初始值
2、建立变化率方程
1、设比例系数为k，且k>0
2、根据函数增减
函数值增加：dy/dx=kxxx
函数值减少：dy/dx=-kxxx
3、微分方程解y(x)
4、根据题干初始条件，解出常数C
牛顿第二定律
前提
物理公式：F=ma
题目特征：物体运动
1、分析运动过程中物体所受的作用力F
2、建立牛二方程：
3、解微分方程，并根据初始条件解出常数C
混合问题
题目特征：水池进水出水问题
1、确定t时刻污染物总量为m
2、计算dt时间内流入流出的污染物
流入：污染物浓度*流入量*dt
流出：污染物浓度*流出量*dt
3、建立微分方程：dm=（流入浓度-流出浓度）dt
4、解微分方程，并根据初始条件解出常数C
