6、二重积分

数二高等数学，汇总了二重积分的计算、交换积分次序、二重积分综合题、二重积分不等式的知识，大家也可以用于备考复习。

二重积分

• 细枝末节
  • 汤讲义
    • 和式极限
    • 性质
      • 运算性质
        • 基本性质
          • 被积函数加减可拆性
          • 常数k可以提出积分符号外面
          • 积分域的可拆性
        • 外部积分上下限相同，则可以将外部积分提取作公因子：
        • 二重积分乘法：
      • 不等式性质
      • 二重积分中值定理：
    • 必须改变积分次序的函数
      • 三角函数
        • sinx
        • cosx
      • 指数函数
      • 积不出来
  • 个人总结
    • 等式两边开根号
      • 等式其中一边要加上正负号，根据题意去正负号
      • 圆（积分域）积分交换次序时：开方要加正负号
    • 圆直角方程等价形式
      • 1、等式两边平方（旧函数）->新函数
      • 2、旧函数回代新函数
    • 根据二重积分上下限画图时，如果变扭，即该上下限没有按规则定限
      • 规则处：不处理
      • 不规则处：添负号使其颠倒过来
    • 简化计算
      • 轮换对称性
        • 满足条件
          • 积分域D表达式角度：x、y互换，积分域不变
          • 积分域D图像角度（易忽略）：图像关于y=x对称
        • 作用：等式两边合并，消去一部分被积函数
      • 对调性
        • 题目特征：需要计算两个二重积分
        • 1、将其中一个积分的积分域与被积函数的x、y对调
        • 2、若对调后的结果就是另一个积分
        • 3、y对D1积分+x对D2积分=2*（y对D1积分）
        • 例如：D1={x≤y},被积函数为y 1、x、y调换：D2={y≤x},被积函数为x 2、y对D1积分=x对D2积分 3、y对D1积分+x对D2积分=? 只需算其中一个积分，然后*2
      • 形心公式逆用
        • 为积分域D的形心x坐标和y坐标
• 二重积分的计算
  • 被积函数特殊类型
    • 分段函数
      • 积分域已各自给出：选择相应的被积函数在相应的积分区域内积分
      • 积分域为全平面
    • 绝对值函数
      • 1、令绝对值里的函数=0，画出该函数图像
      • 2、去绝对值
    • 多元偏导函数：分部积分法
  • 方法
    • 1、分析积分域表达式
      • 粗略确定x、y取值范围：
        • 为了画图更准确
      • 积分域满足轮换对称性：
        • 被积函数首次简化
      • 先不画图，直接从表达式获取信息
    • 2、画积分区域D图像
      • 关于y=x对称：从图像角度看出了轮换对称性
      • 关于y=-x对称：
      • 简化被积函数
      • D整体对称
        • D关于y轴对称
          • 若f(-x,y)=f(x,y)：
          • 若f(-x,y)=-f(x,y)：
        • D关于x轴对称
          • 若f(x,-y)=f(x,y)：
          • 若f(x,-y)=-f(x,y)：
        • D关于y=x对称
          • 或积分区域的x、y对调，积分区域不变
          • 若f(x,y)=f(y,x)：
          • 若f(x,y)=-f(y,x)：
        • D关于y=a对称
          • 若f(x,y)=f(x,2a-y)：
          • 若f(x,y)=-f(x,2a-y)：
        • D关于x=a对称
          • 若f(x,y)=f(2a-x,y)：
          • 若f(x,y)=-f(2a-x,y)：
        • 1、简化积分区域：积分区域砍半 ①便于确定积分的上下限 ②便于拆被积函数的绝对值 2、减少了不必要的计算
    • 粗略简化计算量
    • 3、选择合适的计算方法
      • 1、分析积分域图像
        • 积分域整体只采用一种积分法
        • 切分积分区域
          • 圆：极坐标
          • 其余区域：直角坐标
          • 使部分区域关于x、y轴对称
          • 在各自区域选择合适的积分法
      • 2、采用积分法的依据与类型
        • 直角坐标法
          • dxdy
          • dydx
          • 不满足极坐标法，就采用直角坐标
        • 极坐标法
          • 特征
            • 被积函数
            • 被积函数优先度高，只要被积函数满足，就可以用极坐标
          • 直角坐标无法积分的情况下，尝试使用极坐标
          • 类型
            • 一般采用：dθρdρ
            • ρdρdθ
    • 4、积分域定限
      • 1、分析题干的积分域表达式与采用的积分法是否相同
      • 2、类型
        • 相同
          • 直角坐标法
            • 定限不复杂时
              • 内层积分上下限
                • dxdy：做一条竖直向上且与x正半轴相交的射线
                • dydx：做一条水平向左且与y正半轴相交的射线
                • 1、射线入口：下限 2、射线出口：上限
              • 内层上下限表达式
                • dxdy：含x的表达式y(x)
                • dydx：含y的表达式x(y)
            • D关于某条直线对称
              • 1、想法：改造被积函数，使被积函数满足奇偶性
              • 2、步骤
                • 1、积分函数的可拆性（原理）
                • 2、使被积函数满足奇偶性
                • 3、奇函数积分为0
          • 极坐标法
            • 圆心不在原点/坐标轴上
              • 1、极点移动法：改造积分域，从而便于定限
              • 2、步骤
                • 1、换元
                • 2、直->极
            • 圆心在原点/坐标轴上
              • dθρdρ：常规
                • ρ：从原点引一条射线
                  • 上下限确定
                    • 射线入口：下限
                    • 射线出口：上限
                  • 上下限表达式(ρ=...)
                    • 寻找与射线有交点的曲线
                    • 极点与曲线上各点距离不相同：曲线为用极坐标表示(ρ=...)
                    • 距离相同：表达式ρ为一个固定值
                      • 例如：积分区域为圆心在原点的圆，ρ=r（圆半径）
                • θ
                  • 题干极坐标表达式给出
                  • 直角->极坐标时：从直角坐标的积分域肉眼看出
              • dρρdθ
                • 1、根据dθρdρ，确定θ区间和ρ=...
                • 2、建立r-θ坐标轴
                  • r：相当于y轴
                  • θ：相当于x轴
                  • 类比
                • 注意事项：三角函数反解时，注意θ区间是否满足反三角的值域
                  • 若不满足，使用诱导公式
        • 不相同
          • 直极互换
            • 直角表达式->极坐标
              • 1、先画出直角坐标系下的图像：为了得到θ
              • 2、积分域表达式替换
              • 3、根据极坐标法定限
            • 极坐标表达式->直角
              • 1、p=...
                • 极坐标表达式两边乘ρ
                • 极坐标表达式两边平方
              • 2、θ：根据θ范围，去除多余的积分区域
              • 3、根据直角坐标法定限
              • 1、我们可以根据极坐标表达式画出图像，但没必要 2、转换为直角坐标表达式后：①根据直角坐标表达式画图； ②根据极坐标的θ，去除多余的积分区域
          • 积分域为参数方程
            • 1、画出直角坐标系下的积分域
            • 2、按直角坐标方法定限，积分上下限的曲线设为y(x)
            • 3、最后一步积分时，才将参数方程带入
• 交换积分次序
  • 原因
    • 题目就是考交换积分次序
    • 积分次序不正确：当前次序计算繁琐或无法积分出来
    • 积分方法不正确：需要改变积分法
      • 若题干用极坐标法，尝试还原积分域与被积函数，分析是否符合极坐标法特征
    • 变积分限求导：内层无法积分
      • 单纯变积分限求导
      • 二重积分求极限：对变积分限使用洛必达法则
  • 情况
    • dxdy<->dydx
      • 先y后x<->先x后y
    • dθρdρ<->dρρdθ
    • 相同积分法转换
    • 直极互换：被积函数或积分域符合极坐标法特征
  • 方法
    • 上下限规则
      • 下限：入口（小）
      • 上限：出口（大）
    • 1、根据积分次序，画出积分域图像
    • 2、按规则确定新上下限
    • 3、处理
      • 旧上下限
        • 符合规则处：不用处理
        • 不合规则处：添加负号
      • 三角函数反解
        • 定义域有效
          • 有效：三角函数定义域∈反三角值域内
          • 方法：直接解出反三角函数即可
        • 定义域无效：使用诱导公式
• 二重积分综合题
  • 二重积分比大小
    • 1、根据积分域的对称性与轮换对称性，简化被积函数
    • 2、分析被积函数的正负性
      • 重点
      • 被积函数＞0：二重积分值＞0
      • 被积函数＜0：二重积分值＜0
    • 3、分支
      • 积分域相同：比较被积函数的大小
        • 必杀招（特殊值法）：代入符合条件的x、y，直接可得函数大小关系
        • 两个被积函数不同：不等式关系
          • x>sinx
          • x>ln(1+x)
          • 当x>0时
        • f[g(x+y)]和f[u(x+y)]
          • 1、f在积分域内具有单调性
          • 2、只需比较g和u的大小关系
      • 被积函数相同：若积分域D1∈D2，被积函数对D2的积分值更大
  • 二重积分求极限
    • 洛必达法则：求导变量必须在外层，否则交换积分次序
    • 二重积分中值定理：
  • 题干等式含二重积分
    • 双变量：求f(x,y)：
      • 等式两边做二重积分
    • 单变量，求f(t)：两边求导
      • 求导变量只能在外层，否则交换积分次序
      • 若外层可以先积分出来，则优先积分出来，从而转为一重积分
    • 双函数：
      • 变上限法
        • 1、将已知条件转为变上限积分
        • 2、改造被积函数
      • 二重积分对调性
        • 1、求出另一种积分次序表达式B
        • 2、将B积分域与被积函数的x、y对调，可得表达式C
          • I、B、C的二重积分值相同； I、B相同：因为只是积分次序不同； B、C相同：由于对调性
        • 3、联立I、C表达式
• 二重积分不等式
  • 两个一重积分相乘
    • 转为二重积分
    • 柯西积分不等式