第一章 函数 极限 连续

本图是关于第一章 函数 极限 连续的思维导图，如初等函数是基本初等函数经过有限次的四则运算和函数符合得到的用一个式子表达的函数。

第一章 函数 极限 连续

• 函数
  • 函数的概念及常见函数
    • 函数：函数的两个基本要素
    • 复合函数：要求外层函数定义域和内层函数值域取交集不为空集
    • 反函数
      • 具有单一映射的函数有反函数
      • 单调函数一定有反函数，反之不一定
    • 初等函数
      • 基本初等函数经过有限次的四则运算和函数符合得到的用一个式子表达的函数
  • 函数的性质
    • 单调性
      • 定义
    • 奇偶性
      • 常见的奇函数p5
    • 周期性
      • 若f（x）以T为周期，则f（ax+b）以T/|a|为周期
    • 有界性
      • 有界函数定义
      • 无界函数定义
  • 复合函数
• 极限
  • 极限的概念
    • 数列
      • 设，若，则
    • 函数
      • 自变量趋于无穷大
        • 与前n项无关
      • 自变量趋于有限值
        • x趋向于x0，与x0点是否有点定义无关
  • 极限的性质
    • 唯一性
    • 有界性
    • 保号性
    • 极限值和无穷小之间的关系
  • 极限存在准则
    • 夹逼准则
    • 单调有界准则
      • 条件：单调+性质有界推得定义结论
  • 无穷小量
    • 概念
    • 无穷小的比较
      • 高阶、低阶、等价、同阶
    • 无穷小的性质
      • 有限个无穷小的和是无穷小
      • 有限个无穷小的积是无穷小
      • 无穷小*有界变量为无穷小
  • 无穷大量
    • 概念
    • 无穷大量的比较
      • （lnx）a次方、x的a次方，a的x次方
    • 无穷大量的性质
      • 两个无穷大的积为无穷大量
      • 无穷大和有界变量之和为无穷大
    • 无穷大量和无界变量的关系
      • 无穷大必无界，反之不然
    • 无穷大量和无穷小量的关系
      • 倒数，但注意分母不能为0
  • 求极限8大方法
    • 基本极限求极限
      • 1的无穷大
      • 常用的基本极限
    • 利用等价无穷小代换
    • 利用有理运算法则
      • 有理运算的前提是两个极限存在（定义结论）
    • 利用洛必达法则
    • 利用泰勒公式
      • 注意精度的把握
    • 夹逼准则
    • 单调有界准则
      • 数学归纳法
      • 基本不等式的使用
      • 分子分母的放缩
    • 定积分定义
• 函数的连续性
  • 连续性的概念
    • 子主题
  • 间断点及其分类
  • 连续性的运算与性质
  • 闭区间上连续函数的性质
• 极限定义（以数列为例）充要的
  • 设（讨论基础）
    • 设Xn为一数列
  • 若（条件）
    • 若存在常数a，对于任意给定的正数seta，总存在正整数N，当n>N时，不等式|Xn-a|<seita成立
  • 则（结论）
    • 那么就称常数a是数列Xn的极限，或者称Xn收敛于a，记为。
• 性质（必要的）条件 采用的是定义的结论
  • 1、唯一性
    • 如果数列Xn收敛，那么他的极限唯一
  • 2、有界性
    • 如果数列Xn收敛，那么数列Xn一定有界
  • 3、保号性
    • 如果数列Xn收敛于a，
  • 4、收敛数列与其子数列间的关系
    • 如果数列Xn收敛于a，
• 定理（充要的）
  • 计算类
    • 四则运算
    • 复合运算
  • 存在类
    • 单调+性质（有界）推得有极限
    • 夹逼定理
• 8大方法（见左）
• 浮动主题