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工程力学
工程力学期末稳过80分，具体整理了 材料力学、静力学的知识点，大家可以学起来哦。
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- 工程力学
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- 大纲
工程力学
材料力学
材料力学的基本概念
材料力学的任务：强度、刚度和稳定性是主要研究内容
强度是指构件抵抗破坏的能力
刚度是指构件抵抗弹性变形的能力
稳定性是指构件维持原有平衡构型的能力
关于工程材料的假设
连续性假设：认为在构建所占有的空间内毫无空隙的充满了物质。在连续性假设情况下，可采用高等数学中的极限、微积分等数学工具进行力学量的求解。
均匀性假设：认为构建内部各点处的力学性能相同。这样，当从构件中取出一部分研究时，不论所取部分的大小、也不论从何处取出，其力学性能都是相同的。
各向同性假设：认为材料的力学性能沿各方向都是相同的。我们日常生活和工程实际中大量运用的金属材料如钢、铜等和非金属材料如玻璃，等具有各向同性性质；而某些非金属材料，如木材，则属于典型的各向异性材料。
小变形假设：认为构架产生的变形量同构建外形尺度相比很小，故对构件进行受力分析时可忽略变形，仍按变形前的尺寸来进行求解
材料力学的基本力学概念
内力：一定有外力才有内力
求内力使用截断法
外力
体积力
表面力
分布力
集中力
静载荷
动载荷
应力：内力的分布集度，即单位面积的内力 ， 单位N/m^2或Pa
正应力：截面法线，方向拉力为正，压力为负
切应力：截面切线方向，使研究对象顺时针转动为正，逆时针转动为负
变形与应变
线应变
角应变
无量纲量
材料力学的研究对象及基本变形
轴向拉伸和压缩
受到一对大小相等、方向相反的沿轴线方向的拉力或压力的作用
变形特点为沿着杆件方向身长或缩短，横向尺寸面积缩小或放大
剪切
受力特点为收到一对大小相等、方向相反的，作用线靠得很近的横向外力作用
变形特点为杆件沿着某截面左右两侧发生相对错动
扭转
受力特点为杆件受到一对大小相等、转向相反、作用卖弄与杆件轴线垂直的外力偶的作用。
变形特点为任意两个横截面绕杆件轴线产生了相对转动
弯曲
受力特点为杆件受到横向力的作用
杆件轴线发生弯曲
轴向拉压与剪切
拉伸与压缩的概念及工程实例
在拉力的作用下，杆件变长变细；在压力的作用下，杆件变短变粗
杆件均沿着轴线发生变形
轴力与轴力图
轴力
把拉压杆的横截面上的内力称为轴力
计算轴力时采用设正法
轴力为拉力时为正，压力时为负；轴力远离截面为正，指向截面为负
轴力图
用于表示轴力沿杆件轴线的分布情况
计算轴力的要点
截面不能刚好截在外力作用点处
内力的大小仅与所受外力的大小和分布有关
内里的大小与截面尺寸、形状及杆件的材料无关
求内力时，外力不能沿作用线移动
画轴力图的过程
建立适当坐标系，若有约束力，需先求出
利用截面法取研究对象，并进行受力分析（利用设正法）
列出轴力方程
计算特殊截面的内力
绘制轴力图，标出轴力值
拉压杆的集中外力作用点处，轴力图会发生突变，突变幅值等于该集中外力的大小
快速计算轴力的方法
拉压杆横截面上的轴力等于横截面一侧所有轴向外力的代数和（正负号表示方向）
轴向拉伸或压缩杆的应力
轴向拉伸或压缩时直杆横截面上的应力
σ=F/A
轴力为拉力时正应力为正，轴力为压力时正应力为负
轴向拉伸或压缩时直杆斜截面上的应力
σ=σ.（cosα）^2
τ=τsinα
斜截面的方位角α是以x轴为起始边，逆时针为正顺时针为负
拉应力为正，压应力为负
与斜截面外发现沿顺时针方向旋转90°的方向相同，则切应力τ为正，反之为负
材料在拉伸与压缩时的力学性能
拉伸时的力学性能
低碳钢（塑性材料的代表）
四个变形阶段
弹性阶段（ob段）
线弹性阶段（oa段）
σ=Eε(胡克定律)
oa段最高点a称为材料的比例极限
非线弹性阶段(ob段)
ab段最高点b对应的正应力称位材料的弹性极限
b点以下的弹性形变可恢复，b点以后为塑性形变，不可恢复
屈服阶段（bc段）
材料丧失了抵抗变形的能力，应力不增加，但是极具变大，这种现象称为屈服现象
bc段的波动存在两个极值，即上屈服极限和下屈服极限
强化阶段（ce段)
随着应力的增大，应变也逐渐变大
e点对应的额正应力为材料虽能承受最大的应力，该应力为材料的强度极限
颈缩阶段（ef段）
试件的某一局部横向尺寸突然急剧缩小，称为颈缩现象
塑性材料的塑性指标
伸长率
δ=△l/l
大于5%的为塑性材料，小于5%的为脆性材料
断面收缩率
ψ=△A/A
冷作硬化现象
卸载定率：材料在加载后再卸载过程中，应力和应变成正比
冷作硬化现象：材料经过预加载再卸载后，其弹性极限（比例极限）提高了，而塑性变形和伸长率却降低了
铸铁（脆性材料的代表）
脆性材料的强度极限比塑性材料的强度极限低的多
因此脆性材料一般不能用做抗压零件的材料
压缩时的力学性能
低碳钢
铸铁
铸铁压缩时断面与轴线成45°-55°角
铸铁的压缩强度极限高于拉伸强度极限，可以达到4-5倍
一般用于抗压构件的材料
应力集中
应力集中的概念
由于构建的截面尺寸急剧变化所引起的应力局部增大的现象称为应力集中
应力集中系数
K=σ最大/σ平均
失效、安全因数和强度计算
失效和极限应力
强度失效——由于断裂或屈服引起的失效
刚度失效——由于过量的弹性变形引起的失效
屈曲失效——由于突然失去平衡状态引起的失效
塑性材料的极限应力值为屈服极限
脆性材料等极限应力值为强度极限
安全因数与许用应力
为了保证拉压杆件具有足够的强度，引入安全因数n
材料的许用应力 [σ]=σ/n
强度条件
考虑不能使材料变形时用屈服极限
考虑不能使材料断裂时用强度极限
考虑弹性模量时用比例极限
σ=F/A<=[σ]
强度的校核
截面的设计
许可载荷的确定
轴向拉伸或压缩时的变形
轴向变形
△l=Fl/EA
E*A为拉压杆的抗拉压刚度
横向变形
μ=-ε横向/ε轴向 （即截面上宽度（长度）的应变/长度上的应变）
连接件的实用计算
工程中的连接与失效
连接与连接件
螺栓连接
铆钉连接
销钉连接
键连接
榫卯连接
连接件的主要失效形式（以铆钉为例）
铆钉受到一对大小相等、方向相反、作用线相距很近的力，产生剪切破坏，即剪切失效
铆钉的局部圆柱面受到连接部位其他构件的强烈挤压将产生显著的塑性变形，导致铆钉不能正常工作为挤压失效
有材料的损失或变形为压溃
剪切的实用计算
名义切应力τ τ=F/A (A为剪切的面积 ，F为剪切的力)
剪切的强度条件τ=F/A<=[τ]
对于塑性材料[τ]可取0.75-0.8[σ],对于脆性材料[τ]可取0.8-1.0[σ]
挤压的实用计算
σbs=F/A （A为自然挤压面的面积）
挤压的强度条件σ=F/A<=[σ]
对于塑性材料[σbs]可取1.7-2.0[σ],对于脆性材料[σbs]可取0.9-1.5[σ]
扭转的概念与应用实例
扭转的概念与工程实例
受力特点：受到一对大小相等、转向相反，力偶的做永远垂直于轴线的力偶作用
外力偶矩的求解与扭矩
外力偶矩的计算
{M}N.m=9549×{p}kw/{n}r/min
扭矩与扭矩图
扭矩的概念：在外力偶矩的作用下，扭矩轴发生扭转变形，该扭转轴的内力称为扭矩
扭矩的计算
利用截面法计算扭矩的大小
若扭矩的矢量方向远离截面，则该扭矩为正；若矢量方向指向截面，则该扭矩为负（右手螺旋法则）
扭矩图
与轴力图画法相同
快速计算扭矩的方法
扭转轴横截面上的扭矩等于横截面一侧所有外力偶矩的代数和；当外力偶矩的矢量方向远离横截面时，该外力偶矩对横截面的扭矩贡献为正扭矩，反之贡献为负扭矩
切应力互等定理与剪切胡克定律
薄壁圆筒扭转时横截面上的应力
τ=T/2πR^2δ R为平均半径，δ为圆筒的筒壁厚度
切应力互等定理
切应力互等定理：在单元体的两个互相垂直的截面上，切应力必然承兑存在，且数值相等，二者方向均垂直于该交线且共同指向或背离该交线。
纯剪切：由于单元体的各个截面上只有切应力而没有正应力，因此把这种情况称为纯剪切
剪切胡克定律
单元体的相对侧面发生微小错动，使原来相互垂直的两个棱边的夹角发生了微小的改变，这个改变量γ称为切应变
当切应力不超过材料的剪切比例极限τ时，切应力τ与切应变γ之间成正比关系，这个关系称为剪切胡克定律
τ=Gγ
G=E/2（1+μ）
G（切变模量）、E(杨氏弹性模量)、μ（泊松比）是各项同性材料的量，三者不独立
圆轴扭转的应力与变形
圆轴扭转的横截面上切应力的推导
圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转时，横截面像刚性平面绕轴线做相对转动；扭转过程中，横截面上的半径仍保持直线。
横截面的切应力沿周向切线，切应力与至轴线的距离成正比，单位间距的相邻横截面相对转动角度相同
变形几何关系
γ=ρdφ/dx （ρ为到轴线的距离，dφ/dx为圆轴扭转的单位长度扭转角）
物理方程
τ=Gγ=Gρdφ/dx
扭转圆轴横截面上任意点的切应力与该点离轴线的距离ρ成正比
静力学关系
I=∫ρ^2dA 对A积分
I为横截面对形心的极惯性矩
τ=Tρ/I
扭转变形圆轴横截面上任意一点的切应力计算公式
扭转圆轴的横截面上最大切应力发生在外圆周上
τ（max）=TR/I
W=I/R W为抗扭截面系数
极惯性矩与抗扭截面系数
实心圆截面
I=πD^4/32
W=πD^3/16
空心圆截面
I=π（D^4-d^4）/32
W=π(D^3-D^3/d^4)/16
圆轴的扭转变形
φ=TL/GI
GI定义为扭转圆轴的抗扭强度
扭转圆轴的强度和刚度条件
扭转圆轴的强度条件
τ=(T/W)max<=[τ]
对于脆性材料，[τ]=(0.8-1.0)[σ]
对于塑性材料，[τ]=(0.5-0.6)[σ]
扭转圆轴的刚度条件
φ=T*180°/GIπ<=[φ]
静不定问题解题思路
根据静力平衡条件，列出力之间的关系
根据扭转角相同的关系列出两者TL/GI相等
若题中要求校核扭转强度，则直接带入求出的t
若题中要求计算扭矩，则分别将许用切应力带入求出扭矩，最后根据等式关系求出最小的力偶应为多少
弯曲内力
弯曲的概念
受力特点：作用方向垂直于杆件轴线
变形特点：杆轴线由直线变为曲线
静定梁
简支梁
外伸梁
悬臂梁
剪力和弯矩
剪力方向规定：规定使梁端顺时针转动的剪力为正，反之为负
弯矩方向规定：规定使梁端向下凸的弯矩为正，反之为负
任意截面上剪力和弯矩的快速计算法则
截面上的剪力等于截面某一侧所有横向外力的代数和，对横向外力的符号规定：截面左侧横向力向上为正，向下为负；反之，截面右侧，横向力向上为负，向下为正
截面上的弯矩等于截面某一侧所有外力对截面形心求矩的代数和，对力矩的符号规定：截面左侧所有外力对截面形心取矩，顺时针为为正，逆时针为负。反之，截面右侧所有外力对截面形心取矩，逆时针为正，顺时针为负。
剪力图和弯矩图
根据加方程和弯矩方程做剪力图和弯矩图
在集中力作用处，剪力图产生一个突变，弯矩图则出现一个折曲
在集中力偶作用处，弯矩图产生一个突变，剪力图则无变化
基本作图步骤
用静力学平衡方程求解出支座反力
研究剪力和弯矩的分段情况：在集中力、集中力偶处，分布载荷的起始和终点处需分段。
根据分段情况，选择任意截面，根据剪力和弯矩的计算法则列出截面的剪力和弯矩方程。计算时，既可以选用左侧外力，也可以选择右侧外力，以简便为原则。
根据剪力、弯矩方程作图，标出段端值和极值
直接法做剪力图和弯矩图
在集中力作用处，剪力图产生突变，突变幅度为集中力的大小，弯矩图产生折曲；
在集中力偶作用处，弯矩图产生突变，突变幅度为集中力偶矩的大小，剪力图则无变化
剪力图、弯矩图特点
q=0区段，剪力图为平直线，弯矩图为斜直线
q=const
q>0，剪力图为斜向上直线，弯矩图为开口向上的抛物线
q<0，剪力图为斜向下直线，弯矩图为开口向下的抛物线
q向上为正，向下为负
剪力与x轴相交处，弯矩有极值
弯曲应力
纯弯曲
梁内截面只有弯矩作用的情况称位纯弯曲
矩形截面梁纯弯曲实验现象及变形假设
中性层
梁弯曲时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层
中性轴
中性层与横截面的交线称为中性轴
实验现象的发现
变形前垂直于纵向线的横向变形后仍保持为直线，且垂直于变形后的纵向线，但彼此倾斜了一个角度
纵向线被弯曲成曲线，但沿着横向，某一侧纵向线变形后伸长，另一侧纵向线变形后缩短，中间某层的纵向线前后长度保持不变
纯弯曲时横截面上的正应力
正应力推导
变形几何关系
ε=y/ρ（ρ为曲率半径）
物理关系
σ=Ey/ρ
静力学关系
1/ρ=M/EI （EI为抗弯刚度）
σ=My/I
使用公式的注意事项
该公式适用范围为最大正应力不超过比例极限
该公式的推导以矩形截面梁的纯弯曲试验为前提，但是在公式推导的过程中并没有用到矩形截面的性质，因此该公式使用于一切具有纵向对称轴的截面，如：工字梁、T行截面梁、圆形截面梁
该公式的推导基于纯弯曲试验，但对于细长梁（l/h>=5），在横力弯曲的情况下，使用该公式计算正应力，精度能达到工程要求
弯曲问题的几何量
W=I/y称为抗弯截面系数
矩形截面
W=bh^2/6
圆形截面
W=ΠD^3/32
圆环截面
W=ΠD^3(1-α^4)/32
弯曲正应力的强度条件
最大应力等于最大弯矩除以W小于需用应力
可进行强度校核，截面尺寸设计和许可载荷确定
对于塑性材料，常制成上菜对称截面，对于脆性材料，常制成上下不对称的截面，充分发挥材料性能
如果时变截面梁，对于每一种规格的截面都有一个危险截面
如果梁上的弯矩有正负的变化，通常可能的危险截面是两个，分别在正负最大弯矩处
弯曲变形
梁绕曲线近似微分方程
挠度
梁在对称弯曲的情况下，其轴线由直线变为纵向对称xy平面内的曲线，称为挠曲线
挠曲线上横坐标为x的任意点对应的纵坐标（或y方向的位移）w称为该点的挠度
转角
梁的横截面相对于原来位置转过的角度θ称为截面的转角
θ=dw/dx
规定：逆时针转角为正，顺时针转角为负
挠曲线的近似微分方程
d^2w/dx^2=M/EI
若弯矩是分段函数，则挠曲线和转角都是分段函数且他们的分段数目与弯矩分段数目相同
积分法计算弯曲变形
θ(x)=∫M(x)dx/EI+C
w(x)=∫[∫M(x)dx/EI]dx+Cx+D
边界条件：固定铰支处挠度为零，即w=0；滚动铰支处挠度为零，即w=0；固定端处挠度和转角分别为零，即w=0,θ=0
叠加法计算弯曲变形
条件：小变形，线弹性。梁的挠度和转角与载荷成线性关系
多个载荷作用下某个截面的挠度和转角=Σ（单个载荷作用下该截面的挠度和转角）
叠加法
载荷叠加
结构叠加
梁的刚度校核
最大挠度小于许用挠度
最大转角小于许用转角
超静定梁解题方法
建立静定基（解除多余约束，代之以约束反力）
写静定基的变形条件
计算变形，求解“多余”反力
本部分的计算基于力矩的快速求解法
静力学
静力学基本概念和受力分析
力的概念
刚体
在力的作用下形状和大小均不变的物体
静力学公理
力的平行四边形法则：作用于物体上的同一点的两个力可以合成为一个合力，合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向由这两个力为边的平行四边形的对角线确定
二力平衡公理：刚体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力应大小相等，方向相反，且作用在同一直线
加减平衡力系公理：在作用域刚体的任意力系上，加上或减去任意平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用效应
推论1——力的可传性原理：力可以在刚体上沿其作用线移至任意一点而不改变它对刚体的作用效应
推论2——三力平衡汇交原理：刚体受三个力的作用而平衡，若其中两个力作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必通过同一点，且三力的作用线共面
作用力与反作用力定理：两物体间的相互作用力总是等值、反向、共线，分别作用正在相互作用的两个物体上
刚化原理：变形体在某一力系的作用下处于平衡，若将此变形体变成刚体（刚化成刚体），则其平衡状态保持不变
约束力与约束反力
约束力的确定准则
作用点：为约束与被约束物体的相互接触处
方向：与约束所能限制的运动方向相反
大小：由平衡条件对应的方程求出
柔性约束：柔性约束只能限制物体离开柔性体，物体收拉力
光滑面约束：方向沿着接触面的公切线方向且指向被约束物体
铰链约束
光滑圆柱铰链
固定铰链支座
滑动铰链约束：方向一定垂直于接触面
轴承约束
物体的受力分析过程
1.去研究对象或取分离体
2.画出主动力
3.画出约束反力
4.列平衡方程
平面力系
平面汇交力系
平面汇交力系合成的几何法
平面汇交力系的解析法
平面汇交力系的平衡：平面汇交力系在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零
平面力偶系
平面内力对点之矩：M=Fd，方向由由右手螺旋法则确定：力使物体绕居心逆时针转动时取“+”，顺时针转动时取“-”。
合力矩定理:平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩等于各分力对同一点之矩的代数和 M（F）=ΣM
力偶和力偶矩
力偶是由大小相等、方向相反、不共线的两个平行力构成，力偶使物体发生转动，而力对物体的作用效果是平动或转动，故力偶不能与力等效，这样力偶与力均为力系的基本量
力偶矩：M=Fd，（d为力偶中两个力的作用线的距离）
平面力偶等效定理的推论
1.只要保证力偶矩的大小和转向不变，力偶可以在其作用面内任意移动而不改变它对刚体的转动效果
只要保证力偶矩的大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和力偶臂的大小，而不改变力偶对刚体的转动效果
平面力偶系的合成
平面力偶系合成的结果为一合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代数和。
平面力偶系的平衡条件
平面力偶系平衡的充要条件是：力偶系中所有个分力偶矩的代数和等于零
平面任意力系
力线平移定理：一句力偶 的等效定理可知：力F1即为平移到了B点的力F，但附加了一个力偶。也就是说，力平移后，要是其对刚体的作用效果不变，除了在新的作用点得到该力，还必须附加一力偶
力线平移定理为：作用在刚体上的力F可以平移到刚体内的任意一点，但必须同时附加一个力偶，附加力偶矩扽古原力F对新作用点的矩 。其逆定理成立，即，平面内内一个力和一力偶合成的结果为该力，该力为原力逆着力偶转动方向平移距离d得到
平面任意力系的简化
平面任意力系向一点简化:平面任意力系向其作用面内任意一点简化，可以得到一个主矢和一个主矩，主矢是力的合成，主矩是平移附加力偶矩的合成
固定端约束反力共有三个，分别是Fx、Fy和约束力偶，其中约束反力阻碍被约束物体在水平方向和竖直方向移动，约束力偶阻碍被约束物体在此平面内转动
三角型分布载荷的合力大小等于三角形的面积，合力的作用线通过该三角形的几何中心。
平面任意力系的平衡方程
力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零，以及各力对所在平面内任意一点之矩的代数和也为零
平面桁架的内力计算
节点法：对一个点分析，假设所受力均为拉力
截面法
静定与超静定的概念
n各物体组成的物体系得平衡方程数为2n
用静力学平衡方程就能求解未知力的问题为静定问题
用静力学平衡方程不能完全求解未知力的问题为超静定问题或静不定问题
未知量的个数与独立的平衡方程个数的差，称位超静定次数
截面上的弯矩等于截面某一侧所有外力对截面形心求矩的代数和，对力矩的符号规定：截面左侧所有外力对截面形心取矩，顺时针为为正，逆时针为负。反之，截面右侧所有外力对截面形心取矩，逆时针为正，顺时针为负。
积分法
剪力图数值等于分布力面积
弯矩图数值等于对应剪力图面积
μ为材料的泊松比
屈服极限是强度的重要指标
比例极限时弹性的重要指标
力偶对其平面内任意一点的矩恒等于力偶矩，与矩心的选择无关
力偶矩是力偶对物体转动效应的度量
力偶与力是在力学中的两个平行关系的物理量
合力投影定理：合力在某坐标轴的投影等于歌分力在同一坐标轴投影的代数和
矢量运算
求解时可设两个方向x与y，再分别对两个方向列平衡方程