一元二次函数、方程与不等式：

关于一元二次函数、方程与不等式 的思维导图，一元二次函数：一个函数，可以写成y=ax²+bx+c的形式，其中a,b,c是实数且a≠0。

一元二次函数、方程与不等式：

• 一元二次函数：
  • 定义：
    • 一个函数，可以写成y=ax²+bx+c的形式，其中a,b,c是实数且a≠0。
  • 特征：
    • 过抛物线的顶点（极值点）；
    • 分类：开口方向（a的正负性）、交点（y轴交点）、对称轴、最值、单调性等。
  • 一元二次函数：
    • 一元二次函数的图像：
      • 一元二次函数的图像特征；
      • 求解一元二次函数图像；
    • 一元二次函数的性质：
      • 一元二次函数的单调性；
        • "一元二次函数的单调性"
          • 一元二次函数
            • 定义: $f(x) = ax^2+bx+c$, 其中 $a\neq 0$
            • 单调性:
              • 当 $a>0$
                • $f(x)$ 在 $(\infty,+\infty)$ 单调递增
              • 当 $a<0$
                • $f(x)$ 在 $(\infty,+\infty)$ 单调递减
              • 当 $a=0$
                • $f(x)$ 为常函数，不具有单调性
          • 单调性的证明:
            • 当 $a>0$
              • 容易证明 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 中恒大于零。
              • 由导数定义可知，$f(x)$ 在 $(\infty,+\infty)$ 单调递增
            • 当 $a<0$
              • 类似地，容易证明 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 中恒小于零。
              • 由导数定义可知，$f(x)$ 在 $(\infty,+\infty)$ 单调递减
            • 当 $a=0$
              • $f'(x)=0$
              • $f(x)$ 为常函数，不具有单调性
      • 一元二次函数的奇偶性；
        • 一元二次函数的奇偶性；
          • 一元二次函数的奇偶性：
            • 奇偶性定义：奇函数满足f(x)=f(x)，偶函数满足f(x)=f(x)
            • 一元二次函数的奇偶性：
              • 一元二次函数的一般式：f(x) = ax^2 + bx + c
              • 奇偶性判定：如果a为偶数，则函数是偶函数；如果a为奇数，则函数是奇函数
              • 特殊情况：当a=0时，函数是常数函数，没有奇偶性
          • 方程与不等式：
            • 一元二次方程：
              • 一元二次方程的一般式：ax^2 + bx + c = 0
              • 求根公式：x = [b ± sqrt(b^24ac)]/(2a)
              • 判别式：Δ = b^24ac
              • 判别式分类：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程无实根
        • 一元二次方程的解法；
          • 解方程的方法；
            • 公式法；
            • 种类分类法；
          • 特殊方程的解法；
            • 因式分解法；
            • 完全平方公式法；
            • 配方法；
      • 一元二次函数的对称性；
        • 一元二次函数的对称性:
          • 对称中心为顶点，对称轴为x = b/2a。
            • 例如：y = ax^2 + bx + c 有对称轴x = b/2a，顶点(b/2a, c b^2/4a)
          • 图示顶点的对称性：
            • 顶点对称性是指图像相对于顶点对称。
          • 图示轴对称的对称性：
            • 轴对称性是指图形相对于某条轴对称。
        • 方程与不等式:
          • 函数的零点即表示方程 y = 0 的解。形式如下：
            • ax^2 + bx + c = 0 若a != 0，则有实数根 [b±sqrt(b²4ac)]/2a。
            • 特别的，当Δ=b²4ac=0时，方程仅有1个实根：
            • 当Δ=b²4ac<0时，方程无实数根。
          • 不等式因式分解法：
            • 对于形如 a·(x r1)·(x r2) · …　#其中r1、r2、 …　为待求实数# 的一元二次函数不等式式子 a(xr1)(xr2)>0，解的步骤如下：
            • 1.将不等式化为等式 a(xr1)(xr2)=0，并求出 a(xr1)(xr2)=0 的根 r1、r2、 …
            • 2.使用数轴法判断每个根 r1、r2、 … 是否会使不等式大于0，即方程 a(xr1)(xr2)>0 的每个解是否成立。
• 一元二次方程：
  • 定义：
    • 形如ax²+bx+c=0的方程，a≠0。
  • 求解：
    • 公式法、配方法、因式分解法。
• 一元二次不等式：
  • 定义：
    • 形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的不等式，a≠0。
  • 求解：
    • 先通过求根法求出零点，再利用解析式或画出函数图像进行讨论。