固体物理 第五章能带理论

固体物理的第五章通常涵盖能带理论，这是研究固体材料中电子行为和性质的重要理论。能带理论是固体物理中最为基础和重要的理论之一，它描述了电子在周期性晶体结构中的运动和能量分布。 1、布洛赫定理； 2、晶格势场； 3、能带结构； 4、禁带和导带； 5、费米能级和费米面； 6、电子的散射和导电性； 7、电子的光学性质。 总的来说，能带理论为我们理解固体材料的电子性质和行为提供了重要的框架。通过研究能带结构和费米面，我们可以解释材料的导电性、磁性、光学性质等特性，为固体材料的应用和设计提供了理论依据。

能带理论

• 独立电子近似
• 布洛赫定理
  • 晶格的周期性势场
    • (1)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性；
    • (2)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和；
    • (3)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实(因为势能与距离成反比)；
    • (4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。
  • 布洛赫定理
  • 波矢的取值和范围
  • 布里渊区
    • 布里渊区定义
      • 在倒格空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒格空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。
      • 第一布里渊区(简约布里渊区)：围绕原点的最小闭合区域
    • 布里渊区作图法
    • 注意
      • 高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格矢进入简约布里渊区，形成布里渊区的简约区图
      • 各阶次布里渊区在空间中没有交集
      • 布里渊区的形状由晶体结构的布拉维晶格决定；
      • 简约布里渊区的体积(或面积)等于倒格原胞的体积(或面积)。
    • 物理意义
      • 布里渊区是动量空间的最小重复单位，用来表现「能量」与「动量」的关系的周期性。至于为什么第一布里渊区很重要或者说是为什么把波数限制在第一布里渊区？因为由于晶体中的格波或者电子波的色散关系在波矢空间是周期为pi/a 的周期性函式，所以其他区域可以通过移动而合并到第一布里渊区，所以只考虑第一区就够了
  • 能带及其对称性
    • 能带
      • • 由此可以得到E-K图像
    • 能带对称性
      • 平移对称性
      • 反演对称性
      • 点群对称性
• 近自由电子近似
  • 概念
    • 在能带理论的发展过程中，曾先后提出许多不同的近似方法，近自由电子近似就是其中最简单的一种。其基本思想是认为金属中的价电子是在一个弱周期场中运动，它的行为很接近于自由电子，故称为近自由电子近似。与自由电子近似不同，虽然只受到弱周期场的作用，却体现了晶格的存在，有可能得到本质上不同的新结果。
  • 弱周期场
    • 理解
      • 电子在晶格的大部分空间中只受到常数势场V(0)的作用，是自由的，波函数为平面波；而在离子实附近才受到ΔV(r)的微扰作用。离子实周期性排列形成晶格，所以在这种近似模型中，电子在晶格中的运动就可看成是一种平面波在周期性结构中的传播。
  • 一维弱周期场的解
    • 模型假设
      • 假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。
  • 一维简并微扰的计算
  • 能带的三种图示法
    • (a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。
    • (b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有的能带)。
    • (c)周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带(强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述)。
• 导体、半导体和绝缘体的能带论解释
  • 概念
    • (1)满带：能带中所有电子状态都被电子占据。
    • (2)导带：能带中只有部分电子状态被电子占据,其余为空态。
    • (3)近满带：能带中大部分电子状态被电子占据,只有少数空态。
    • (4)空带：能带中所有电子状态均未被电子占据。
  • 满带电子不导电
    • k轴上各点均以完全相同的速度移动，因此并不改变均匀填充各k态的情况。从A´移出去的电子同时又从A移进来，保持整个能带处于均匀填满的状况，并不产生电流。
    • 在外场作用下，电子分布将向一方移，破坏了原来的对称分布，而有一个小的偏移,这时电子电流将只是部分抵消，而产生一定的电流。
  • 导体、半导体和绝缘体的能带
  • 近满带和空穴
    • 满带中少数电子受激发而跃迁到空带中去，使原来的满带变成近满带，近满带中这些空的状态，称为空穴。
• 晶体中电子的速度、 加速度和有效质量
  • 波包和电子速度
    • 分类
      • 自由电子波包：德布罗意波组成。
      • 晶体周期性势场中的电子波包：布洛赫波组成。
    • 计算
    • 说明
  • 电子的加速度和有效质量
    • 加速度
      • 由电子的平均速度即可求出它的平均加速度
    • 倒有效质量
      • 特点
        • (1)有效质量反比于能谱曲线的曲率，
        • (2)有效质量是k的函数，在能带底附近总是取正值；在能带顶附近总是取负值。
      • 晶体中的电子除受外力作用外，还和晶格相互作用，也就是说电子的有效质量m*本身已概括了晶格的作用。
      • 当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量m∗>；当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，m∗<；当电子从外场获得的动量全部交给晶格时，m∗→∞，此时电子的平均加速度为零。
      • 说明
    • 准电子
      • 有效质量与准动量都是人为定义的，用来描述晶体中电子的粒子性。用这些概念，处理晶体中电子的输运问题，可以把布洛赫电子看成是具有质量m∗、动量为hk的准电子，使我们能够只考虑外力作用下这样的准电子的运动。
  • 晶体中电子在恒定电场中的运动
• 紧束缚近似
  • 模型和微扰计算
    • 万尼尔(Wannier)函数
      • 特点
        • 此函数是以格点R ⃗_为中心的波包，因而具有定域的特性；
        • 不同能带不同格点的万尼尔函数是正交的
  • 一个简单的例子
    • 能带宽度由两个因素决定
      • (1)重叠积分J的大小；
      • (2)J前的数字，而数字的大小取决于最近邻格点的数目，即晶体的配位数。
    • 因此，可以预料，波函数重叠程度越大，配位数越大，能带越宽，反之，能带越窄。
  • 适用性
    • 1.上面讨论的是最简单的情况，只适用于s态电子，一个原子能级_^对应一个能带；
    • 2.若考虑p态电子，d态电子，这些状态是简并的，N个原子组成的晶体形成能带比较复杂，一个能带不一定同孤立原子的某个能级对应，可能出现能带交叠，此处不讨论；
    • 3.本节只讨论简单格子，对于复式格子必须对每个子晶格写出布洛赫波函数，再把这些函数组合成整个晶体中适用的布洛赫函数，此处不讨论。