大学数学-概率论与数理统计第一章

概率论与数理统计第一章 山财专用课本

概率论与数理统计

• 随机事件及其概率
  • 随机事件
    • 确定性现象或必然现象：在一定条件下必然发生或必然不发生的现象。
    • 随机现象和偶然现象：在一定条件下可能发生也可能不发生。
    • 随机实验的三个特征：可重复性、明确性、随机性
    • 随机实验的每一种结果称为事件，在实验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件。
    • 在每次实验中一定发生的结果称为必然事件。 在每次实验中一定不发生的结果称为不可能事件。
    • 相对于实验目的不可再分的实验结果称为基本事件；否则，称为复合事件。
    • 实验的所有基本事件构成的集合称为它的样本空间，用Ω表示。 样本空间中的元素称为样本点。
    • 事件中的关系运算
      • 包含
        • 对于任何事件A，有Φ⊂A⊂Ω。
      • 相等
        • 若事件A包含事件B，事件B包含事件A，则称事件A与B相等，记作A=B。
      • 并（和）
        • A+B⊃A，A+A=A，A+Ω=Ω。
      • 交（积）
        • AB⊂A，AA=A，AΦ=Φ，AΩ=Ω。
      • 差
        • A-B=A-AB
      • 互不相容(互斥)
        • AB=Φ
      • 对立(互逆)
        • A逆=B，A逆的逆=A，A-B=A*B逆
      • 完备事件组
        • 两两互不相容，且和为全集
    • 运算规律
      • 交换律：AB=BA
      • 结合律：A(BC)=(AB)C
      • 分配律：(A∪B)∩C=AB∪AC (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
      • 对偶律：(A∪B)的逆=A逆∩B逆 (A∩B)的逆=A逆∪B逆
  • 事件的概率
    • 古典概型
      • 特点：1.有限样本点 2.各个样本点发生的概率相等
      • 基本计数原理
        • 加法原理
          • m种不同方式
        • 乘法原理
          • m个不同步骤
      • 排列组合公式
        • 不重复排列(不放回)
          • n个不同元素取m个元素的排列
          • P=n(n-1)…(n-m+1)=n!/(n-m)!
        • 重复排列(放回)
          • n个不同元素用放回的取m个元素的排列
          • n的m次方
        • 组合
          • n个不同元素中取m个元素组成一组
          • C=P/m!=n!/m!(n-m)!
            • 0!=1
    • 几何概型
      • P(A)=μ(G)/μ(Ω)
    • 概率的公理化定义
      • 非负性：P(A)≥0
      • 规范性：P(Ω)=1
      • 完全可加性：若A1,A2,…两两互斥，则他们和的概率等于它们各自概率之和。
      • 其他性质
        • 1.不可能事件的概率为0 2.有限可加性：有限个两两互斥事件之和的概率等于他们各自概率的和 3.P(A逆)=1-P(A) 4.任意AB，P(A-B)=P(A)-P(AB) 若A包含B，P(A-B)=P(A)-P(B) 5.加法公式：P(A＋B)=P(A)＋P(B)-P(AB)
  • 条件概率与乘法公式
    • 条件概率
      • P(AlB)=nAB/nB=P(AB)/P(B)
      • 1.任意A，P(AlB)≥0 2.P(ΩlB)=1 3.
    • 乘法公式
      • P(AB)=P(A)P(BlA) P(AB)=P(B)P(BlA) P(ABC)=P(A)P(BlA)P(ClAB)
  • 全概率公式与贝叶斯公式
    • 全概率公式(由原因Ai引起的B发生的概率)
    • 贝叶斯公式(引起B发生的原因是Ai的概率)
  • 事件独立性与伯努利模型
    • 事件独立性
      • 定义：1.若事件A的概率不受事件B发生与否的影响，即P(AlB)=P(A)，则称事件A对于事件B独立。 2.若P(AB)=P(A)P(B)，则A,B独立。
      • 事件独立性具有相互对称的性质，即若A对于B独立，则A与B相互独立
      • 定理： 1.若P(A)＞0,P(B)＞0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B) 2.若AB独立,A与B逆,A逆与B,A逆与B逆独立。 3.若P(A)=0或P(A)=1，A与任意事件独立。
    • 伯努利模型
      • 若一个实验E的样本空间为Ω=｛A,A逆｝，则E为伯努利实验。做n次，则称n重伯努利实验或伯努利概型。