大学数学-重积分总结思维图

对重积分的相关内容进行了总结，细化一下自己的解题思维

重积分

1. 二重积分

背景

曲顶柱体的体积，其中高度为被积函数

平面薄片的质量

计算方法

首先画出D区域图形，先观察一下这个图形是不是对称图形，能不能分割变成对称图形

当被积函数是一个加法运算时，注意考虑对称性简化运算，这种也不可掉以轻心， 比如例5就有一个坑即注意是局部对称还是整体对称

根据情况选择积分顺序：先x后y还是先y后x还是换成极坐标求解

通过图形确定x，y的范围

被积函数含有绝对值或者是分段函数

绝对值要消掉，拆成两部分做（注意题目能否简化，比如例10，前一部分和后一部分都凑成一个整体，便于计算

当发现无法求积分是，这个时候要对其进行变换

二重积分的变换

先划出图像确定x，y范围

再变换

证明题

一般有定积分平方化成二重积分

选择题可以采用赋值法加速求解

求极限时常常采用二重积分的中值定理（例3）

在对抽象函数的求解时，常常会使用到轮换对称性，就题目中一般含有对f(x)和f(y)的式子，当题目是一个很特殊的对称图形时，不妨想一下轮换对称性。或者直接把x和y互换。

化为极坐标求解

先画图

确定范围有三种模型，角度的范围是图像在坐标轴上的范围

什么情况下要变换极坐标

被积函数含有

它们的平方是r平方，含有r

积分区域是圆盘或其中一部分

注意最后dxdy变成

选择题中有一种题型是那种没有确切的数，都是字母的计算，常常只要根据被积函数的特点转化成极坐标就可以求解

定积分转化成二重积分的桥梁是平方，然后把其中一个x变成y即可

2. 三重积分

背景

空间物体的质量

计算方法

首先要画出图形（需要熟悉以前学过图形的画法）

注意考虑对称性（奇偶对称和轮换对称），奇偶尤其在加减法用的比较多，轮换一般是x^2+y^2+z^2=R^2和x+y+z=0区域用的多。

三重积分的轮换对称性

根据特点选择对应的方法

先一后二

（先z，后x，y）通常是z为函数，然后想x，y在xoy投影区域的范围（消去z）

先二后一

适用条件

f(x,y,z)等于g(z),且Dz容易表示

这里的z的范围在两个常数之间，面积一般与z有关，如

柱面坐标

适用条件

被积函数含有

积分区域为圆柱，圆锥，旋转抛物体，旋转椭球体或其中一部分

投影区域为圆盘或圆盘一部分

z一般为r和角的表达式，r和角在投影区域的范围（消z）

注意最后dxdy变成rdrd角,积分次序一般先z，后r再角

球面坐标

适用条件

被积函数含有

积分区域为球体或部分，或者为球体与圆锥体所围区域

dxdydz变成

是半平面角，确定rou的范围通常将原式化成球坐标的形式

选择题可以采用赋值法加速计算

选择题中有一种题型是那种没有确切的数，都是字母的计算，常常只要根据被积函数的特点转化成柱面坐标或球面坐标就可以求解

3. 曲线积分

对弧长的曲线积分

背景

曲线型构件的质量

平面曲线在z轴不等高的一种图形，然后底边是曲线的，边是竖直的

首先还是要注意对称性

奇偶对称

轮换对称

关于y=x对称,则

被积函数为1时，求出来的是弧线长

如果x，y，z可以用参数方程或极坐标表示，就换成参数方程或极坐标方程，然后直接用下面的公式，注意范围看下面那个，不能搞错

特别的，当y为x的函数时，有

在计算时，要记得把被积函数带入，不然求不了，就比如z=0要带入。

注意由于弧长大于0，上限一定大于下限

对坐标的曲线积分

背景

变力沿着曲线做的功

注意：这个积分是有方向的，必须要注意积分弧段的方向

如果x，y，z可以用参数方程或极坐标表示，就换成参数方程或极坐标，然后直接用下面的

起点处所对应的参数值作为上限，终点处所对应的参数值作为下限，当两曲线交线从z轴正向看起来是逆时针，则范围0->2pai,反之2pai->0。

子主题

特别的，如果y是x的函数，有

两类积分的联系

x=x(s),y=y(s),

或者y是x的函数时，可以dy=Cdx，然后就可以得到ds=根号下1+dy^2，从而根据上面也可解。

格林公式

区域D

单连通（无洞区域）

复连通（有洞区域）

方向：沿着L走，左边为正向

D由L围成，P(x,y),Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数：



常用的一个求面积的一个公式

运用格林公式时，一定是由L围成，常常会将某一个曲线补全，但是最后要记得减去补上的部分

当L为不过原点的正向闭区间，这个时候需要分类讨论：

L内部不包括原点

直接使用格林公式即可

包括原点

需要在D内做圆周x=rcosa,y=rsina（也可补其他的东西，但是算出来就不一样了，还是根据题目条件来设x和y，如果有x^2+y^2,前者当然好，如果x^2+4y^2,自然不用那个）,取顺时针方向，然后用总圈-内部的圈。

平面上曲线积分与路径无关

前提：D单连通域，P(x,y),Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数

当计算发现积分与路径无关时，常常更换路径计算（一般变成折线）

四个等价定理

在D内任意光滑闭曲线L，有

对D中任一分段光滑曲线L，有

与路径无关，只和起终点有关

Pdx+Qdy 在D内是u（x,y)的全微分，即du(x,y)=Pdx+Qdy

在D内每一点都有

最常用

只有与路径无关时，才有下面这种表达：

求原函数

一般先求 

如果题目没有告诉（x0，y0），需要自己取一个符合题目规定的点（通常取原点），然后大概率拆成两条折线做，即

注意Q和P内部的字母。

子主题

也可以通过拆开重组凑微分，这种有时需要外加积分因子

4. 曲面积分

对面积的曲面积分

背景

求曲面的质量

计算方法

首先将F(x,y,z)转化成z=z(x,y)

再写出投影区域的面积，常常题目会给，不然就就消去z

求出

再求出

被积函数换成z(x,y)乘以

变成投影的面积

总的就是

实际应用

求质心等等

对坐标的曲面积分

有向投影，可为正可为负，投影的方向性问题取决于曲线的方向性问题如果指向为上则值就是正的，和投影一样，反之则是负的。

背景

流体流向一侧的流量

计算方法

首先将F(x,y,z)转化成z=z(x,y)

再写出投影区域的面积，常常题目会给，不然就就消去z

则有

取上侧则为正号，取下侧则为符号，上正下负

判断是什么侧常常会通过图形来确定，题目说侧的时候会比较灵活

两类积分的联系：

当所求形式比较复杂时，如

常常使用三合一投影法

三合一投影法

高斯公式

前提

空间闭区间，由分片光滑的闭曲面围成，方向取外侧，函数P,Q,R在区域上有连续的一阶偏导数

大体和格林公式计算差不多，用高斯公式常常会补全然后相减，但是这里要注意侧的方向

公式

应用

通量

散度

斯托克斯公式

曲面的方向与边缘的线的方向成右手法则

公式：

公式简化记忆：



浮动主题

曲面积分和曲线积分之间的联系

转化成三重积分来做

对方向有要求的

一般不考虑对称性，比较复杂

对坐标的曲线积分

对坐标的曲面积分

曲面积分转化成二重积分

这里会有侧的概念，做题不要忘记这个

上正下负

前正后负

右正左负

外正内负

将第二类曲线积分与二重积分联系在一块

这里是乘以相应变量的导数，不需要开根号的

遇到曲线积分，一定要注意是第一类曲线积分还是第二类，看后面是ds还是dx，这种比较有迷惑性。（比如第二类曲线积分的例1）

一定要乘以导数的平方和开根号

重积分里面的解决方法无非都是以下4个：大化小，常代变，近似和，取极限

当被积函数是一个加法运算时，注意考虑对称性简化运算