三角函数

这是一篇关于三角函数的思维导图，主要内容包括：规律，诱导公式，，三角函数图象变换，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，三角函数的定义，角与弧度制。将知识点进行了归纳和整理，帮助学习者理解和记忆。直击重点，可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，知识点系统且全面，希望对大家有所帮助！

三角函数

• 角与弧度制
  • 角
    • 定义
      • 一条射线绕其端点旋转所形成的图形
    • 分类
      • 旋转方向
        • 逆时针：正角
          • 顺时针：负角
            • 没有旋转：零角
      • 终边位置：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合
        • 象限角
          • 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角
        • 轴线角
          • 角的终边落在坐标轴上，就说这个角是轴线角
    • 表示方法
      • 终边相同的角
      • 象限角
        • 第一象限角
          • 第二象限角
        • 第三象限角
          • 第四象限角
      • 轴线角
        • x轴非负半轴
          • x轴非正半轴
        • y轴非负半轴
          • y轴非正半轴
        • x轴上
          • y轴上
            • 坐标轴上
  • 弧度制
    • 定义
      • 规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示（可省略），读作弧度.
    • 互化
  • 弧长与扇形面积公式
    • 弧长
      • 扇形面积
        • 推导
• 三角函数的定义
  • 利用图形辅助记忆
  • 定义
    • 初中定义：在直角三角形ABC中，若角C为直角，则
    • 高中定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么
      • |OP|=1
      • 正弦函数sina=y
        • 余弦函数cosa=x
          • 正切函数
    • 拓展定义：设a是一个任意角，它的终边上有一个点P(x,y)（非原点），那么
  • 符号
    • 口诀（仅适用于象限角）
      • 一全正、二正弦、三正切、四余弦
        • 其含义为第一象限正弦、余弦、正切都是正的；第二象限只有正弦是正的；第三象限只有正切是正的；第四象限只有余弦是正的
    • 图示（适用于任意角）
      • sina
        • cosa
          • tana
            • 利用定义进行记忆
  • 三角函数线
    • • • • • 正弦线OM、余弦线MP、正切线AT
              • 向左为负，向右为正；向上为正，向下为负.长度等于三角函数值的数值大小
• 三角函数的图象与性质
• 诱导公式
  • 口诀
    • 奇变偶不变，符号看象限
      • • 若k为奇数，则函数名改变；若k为偶数，则函数名不变
  • 公式与图示
    • 终边相同的角（一全正）
      • 终边关于y轴对称的角（二正弦）
        • 终边关于原点对称的角（三正切）
    • 终边关于x轴对称的角（四余弦）
      • 终边关于直线y=x对称的角
        • 终边垂直的角
• 三角恒等变换
  • 同角三角函数之间的关系
    • 平方关系
      • 商数关系
  • 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
  • 二倍角公式
    • • • 降幂公式
  • 半角公式
  • 万能公式
  • 积化和差
    • • 余余正正，余加负余减
    • • 正余余正，正加正减
  • 和差化积
    • • • 正加正，正在前
      • • 正减正，余在前
      • • 余加余，余并肩
      • • 余减余，负正弦
• 三角函数图象变换
  • 伸缩变换（A>0,w>0）
    • 先平移后伸缩
    • 先伸缩后平移
    • 纵向伸缩：函数y=sinx图象上的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，可得函数y=Asinx的图象
  • 翻折变换
    • y=sin|x|
      • • y=|sinx|
    • y=tan|x|
      • • y=|tanx|
• • 五点画图法
  • 性质：整体换元思想
    • • 周期性
      • 单调性
        • 增区间
        • 减区间
      • 对称轴
      • 对称中心
    • • 定义域
      • 周期性
      • 单调性
        • 增区间
      • 对称中心
• 规律
  • 易错点
    • 弧度与角度不能混用
      • 在同一个问题中，一般情况下，要么自始至终使用弧度，要么自始至终使用角度，尤其是在同一个公式中，绝不能混用
    • 忽略角的旋转方向
      • 在很多实际问题中，例如钟表的指针、水车的旋转、风车的旋转等等，要特别注意旋转方向
    • 忽略轴线角的三角函数值的正负情况
      • 解题时借助三角函数的图象可以避免这种错误的发生
    • 忽略三角函数的对称变换
      • y=Asinx与y=-Asinx关于x轴对称
        • y=Asinx与y=Asin(-x)关于y轴对称，也关于x轴对称
          • 对单调性的影响较大
    • 当w<0时，一定要先用诱导公式把w化为正数
      • 例如y=sin(-wx+j)=sin[-(wx-j)]=-sin(wx-j)
    • 周期性计算出错
      • y=Atan(wx+j)的周期为
        • y=Atan(2wx+j)的周期为
          • y=A|tan(wx+j)|的周期为
  • 易混点
    • 角的终边落在直线上与角的终边落在射线上
      • 角a的终边落在直线y=x上
      • 角a的终边落在直线y=x（x>0）上
    • 奇偶性
      • y=sinwx是奇函数
        • y=coswx是偶函数
          • y=tanwx是奇函数
            • y=sin(wx+j)一般情况下是非奇非偶函数（不能用诱导公式化简的情况）
  • 解三角不等式
    • 方法1：借助单位圆
      • 例如
        • • 根据三角函数的定义，正弦画横线，余弦画竖线
    • 方法2：借助三角函数图象
      • 例如
  • 辅助角公式
  • 弦切互化