高等数学微分方程知识点思维导图

包括了对微分方程进行研究找出未知函数、一阶微分方程、可降阶的高阶微分方程、高阶线性微分方程、常系数线性微分方程等。

微分方程

• 对微分方程进行研究找出未知函数
  • 对某些物理问题，并不存在已知可用的函数，需要通过建立微分方程来进行研究得到未知函数，即为解微分方程
  • 几何、力学、物理学
    • 高等数学B p297~p299
• 一阶微分方程
  • 可分离变量的 微分方程
    • 本质
      • 一阶微分方程
    • 为什么要进行分离变量
      • 分离变量以便对两个变量进行积分
        • f(x)dx=g(y)dy
    • 作用
      • 可将xy的变量关系交换来进行解方程
  • 齐次方程
    • 本质
      • 一阶微分方程
    • 何为齐次方程
      • dy/dx=f(y/x)
    • 用法
      • 设u=y/x y=ux dy/dx=u+xdu/dx
    • 注意事项
      • 要将y x 回代
  • 一阶线性微分方程
    • 齐次
      • dy/dx+P（x）y=0
        • 通解
          • y=Ce^-∫P（x）dx
    • 非齐次
      • dy/dx+P（x）y=Q（x）
        • 通解
          • 将齐次的通解进行常数变易法来求非齐次，详情p315
          • y=Ce^-∫P(x)dx+e^-∫P(x)dx[∫Q(x)e^-∫P(x)dx dx]
• 可降阶的高阶微分方程
  • 通过代换将其降阶处理
    • 详情参照高等数学B P321-328
  • 不同于高阶线性，此类方程特殊性较强
• 高阶线性微分方程
  • 二阶
    • y``+P(x)y`+Q(x)y=0
      • 若y1,y2是方程两个线性无关的特解
        • y=C1y1(x)+C2y2(x)
    • y``+P(x)y`+Q(x)y=f(x)
      • y*是一个特解，Y(x)是齐次的通解
        • y=Y(x)+y*(x)
  • 线性微分方程的解的叠加原理
    • p334
• 常系数线性微分方程
  • 常系数齐次线性微分方程
    • y``+py`+qy=0 (q,p为常数)
      • r^2+pr+q=0
        • 两不等实根
          • y=C1e^r1x +C2e^r2x
        • 两相等实根
          • y=(C1+C2x)e^r1x
        • 共轭复根
          • y=e^ax(C1cosβx+C2sinβx)
  • 常系数非齐次线性微分方程
    • y``+py`+qy=f(x) (q,p为常数)
      • f(x)=e^lxPm(x)
        • l 不是根
          • k=0
        • l是单根
          • k=1
        • l是重根
          • k=2
      • f(x)=e^lx[Pl(x)coswx+Qn(x)sinwx]
        • l+iw不为根
          • k=0
        • l+iw为单根
          • k=1
• m=max{l;n}
• y*=x^ke^l [Rm1(x)coswx+Rm2(x)sinwx]
• y*=x^kRm(x)e^lx
• r1、2=α+-βi