2.代数式与整式

初中数学综合复习：代数式、整式、幂的运算、因式分解等知识点

代数式与整式

• 代数式及其求值
  • 代数式
    • 定义：用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式
      • 1.等式、不等式都不是代数式（代数式中不含有“=”、“≠”“＞”“＜”等）
      • 2.单独一个数或一个字母也是代数式（a、-2等）
      • 3.代数式中可以有数、字母、基本的运算符号，还可以有括号（）
    • 代数式书写
      • 1.代数式中出现的乘号
        • 字母与字母/数字与字母
          • a•b或ab/10•b或10b
      • 2.数字与字母相乘时，一般将数字写在字母的前面
      • 3.带分数与字母相乘，带分数要化成假分数
      • 4.数字与数字相乘，一般仍用“×”
      • 5.除法，一般按照分数的写法来写，被除数做分子，除数做分母。“÷”转化为分数线。
        • “4÷（a-4）”应写作4/(a-4)
      • 6.在代数式后面要注明单位时，若结果是乘除关系，直接在后面写单位；若结果是加减关系的，先把式子用括号括起来，再在后面写单位。
      • 7.同一个问题中，一个字母只能代表一个量
  • 列代数式
    • 把问题中与数量有关的词语用含有数、字母和运算符号的式子表示出来
  • 代数式求值
    • 直接代入法
      • 把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值
        • 字母的取值是负数和分数时，带入要加括号
    • 整体代入法
      • 观察已知条件和所求代数式的关系
      • 用提公因式、平方差公式，完全平方公式将所求代数式或已知代数式进行变形，使它们成倍份关系
      • 把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值
  • 非负性
    • 常见的非负数
      • lal、b²、
        • a,b,c均为实数，c≥0
    • 常见的非负式
      • lAl、B²、
        • A，B，C均为整式
        • lAl+B²+=0
          • lAl≥0，B²≥0，≥0
            • 三者都为0
• 整式的相关概念
  • 整式
    • 单项式和多项式统称为整式
  • 单项式
    • 概念
      • 数字与字母的积所组成的代数式叫作单项式，单独一个数或字母也是单项式
        • 1.单项式中的运算只能是乘法或乘方，而不能含有加减除运算
        • 2.字母不能出现在分母里
    • 单项式的系数
      • 单项式中的数字因数，系数要包括它前面的符号
        • 1.一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或-1
        • 2.一个单项式只含有数字因数，它的系数就是它本身
        • 3.负数作系数时，应包括前面的符号
        • 4.若系数是带分数，要化成假分数
    • 单项式的次数
      • 单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数
        • 1.一个单项式只含有数字因数且非0，它的次数是0
        • 2.一个单项式的次数是几，这个单项式就是几次单项式
  • 多项式
    • 概念
      • 几个单项式的和
        • 有加减号
        • 分母中不含有字母
    • 多项式的项
      • 多项式中，每个单项式叫做多项式的项
        • 1.多项式里含有几项，就把这个多项式叫做几项式
        • 2.每个单项式要包括前面的符号
        • 3.不含字母的项叫作常数项
    • 多项式的次数
      • 多项式中，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数
        • 1.升幂排列
          • 按照某个字母的指数从小到大的顺序排列
        • 2.降幂排列
          • 按照某个字母的指数从大到小的顺序排列
  • 同类项
    • 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
      • 注意
        • 1.两个相同
          • ①所含字母相同
          • ②相同字母的指数分别相同
        • 2.两个无关
          • ①与单项式的系数无关
          • ②与单项式中字母的排列顺序无关
      • 提示
        • 1.同类项不一定是两项，也可以是三项、四项或者更多项，但至少有两项
        • 2.所有的常数项都是同类项
    • 合并同类项
      • 合并同类项时，当项数较多时，通常在同类项的下面做相同标记
      • 概念
        • 根据乘法分配律，把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项
      • 合并同类项法则
        • 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变
          • 一变两不变
      • 步骤
        • 一找二合三并，写出结果
• 整式的运算
  • 去括号
    • 去括号，去括号，符号变换最重要，括号前面是正号，里面各项保留好；括号前面是负号，里面各项全变号
    • 去括号法则
      • 1.括号前面是+号的，把括号和它前面的+号去掉，括号里各项的符号不变
        • a+（b-c）=a+b-c
      • 2.括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变
        • a-（b-c）=a-b+c
    • 注意事项
      • 1.去括号法则依据是乘法分配律
      • 2.去括号时一定要注意括号前面的符号
      • 3.去括号时要把括号连同它前面的符号都去掉；去括号后，如果项的系数为“+”号，又不是第一项，则不能省略正号
      • 4.当去掉括号与它前面的“-”号时，括号里面的各项都要改变符号，不能只改变部分项的符号
      • 5.去多重括号时，习惯上先去小括号，再去中括号，最后去大括号
  • 加减运算
    • 实质
      • 合并同类项
    • 整式的加减运算
      • 如果有括号，先去括号，再合并同类项
    • 化简求值
      • 求值前先去括号，然后合并同类项进行化简
      • 步骤
        • 1.化
          • 通过去括号、合并同类项将整式化简
        • 2.代
          • 把已知的字母或某个整式的取值代入化简后的式子
        • 3.算
          • 依据有理数的混合运算法则进行计算
  • 幂的运算
    • 同底数幂的乘法
      • • a:底数
          • 底数可以是一个数或一个字母，也可以是一个单项式或一个多项式
        • m:指数
        • 幂
      • 意义
        • 同底数幂是指底数相同的幂
      • 乘法法则
        • • a≠0,b≠0，m,n是整数
          • 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
        • 法则逆用
    • 同底数幂的除法
      • 同底数幂的除法法则
        • • a≠0，m,n是整数
          • 同底数幂相除，底数不变，指数相减
        • 法则逆用
      • 零指数幂
        • (a≠0）
        • 任何不等于0的数的0次幂等于1
      • 负整数指数幂
        • • a≠0，n是正整数
          • 任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数
    • 幂的乘方
      • • a≠0,b≠0，m,n是整数
        • 幂的乘方，底数不变，指数相乘
      • 法则逆用
    • 积的乘方
      • • a≠0,b≠0，m是整数
        • 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
      • 法则逆用
  • 乘法运算
    • 单项式乘单项式
      • 法则
        • 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
      • 步骤
        • 1.把它们的系数相乘，包括符号的计算
        • 2.同底数幂相乘
        • 3.只在一个单项式里含有的字母及其指数不变
        • 将这三部分的乘积作为计算的结果
    • 单项式乘多项式
      • 先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
      • 积为一个多项式，其项数与多项式的项数相同，不要漏乘项
    • 多项式乘多项式
      • 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
    • 乘法公式
      • 完全平方公式
        • （a+b）²=a²+2ab+b²
        • （a-b）²=a²-2ab+b²
        • 两个数的和（或差）的平分，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍
      • 平方差公式
        • （a+b）*（a-b）=a²-b²
        • 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
• 因式分解
  • 定义
    • 把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫作多项式的因式分解
  • 方法
    • 提公因式法
      • 公因式
        • 概念
          • 多项式的各项都含有的因式，称为这个多项式的公因式
        • 确定方法
          • 系数
            • 当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数
          • 字母
            • 字母应取各项相同的字母
          • 指数
            • 取各项相同字母的最低次数
      • 确定公因式，逆用乘法分配律
        • ma+mb+mc=m（a+b+c）
    • 公式法
      • 用平方差公式分解因式
        • a²-b²=（a+b）·（a-b）
      • 用完全平方公式分解因式
        • a²±2ab+b²=（a±b）²
    • 十字相乘法
      • x²+（p+q）x+pq=（x+p）·（x+q）
    • 分组法
      • 当多项式项数≥4项时，先考虑分组
  • 步骤
    • 一提
      • 如果多项式各项有公因式，应先提取公因式，特别注意数字因式
    • 二套
      • 公式法与十字相乘法
        • 提完公因式后，如果还能分解
          • 两项
            • 平方差公式
          • 三项
            • 首先考虑完全平方
            • 再考虑十字相乘
          • 四项及以上
            • 分组
    • 三检查
      • 检查是否分解到底
  • 实质
    • 因式分解的实质是把和差化为积的形式