13.二次函数

初中数学综合复习：二次函数相关知识点

二次函数

• 二次函数
  • 概念
    • 一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫作二次函数
      • a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项
      • x是自变量，y是x的函数
  • 注意
    • 等号的右边是一个整式——不是分式
    • 最高次项的次数是二次的，并且保证二次项系数永远不为0
  • 二次函数解析式
    • 一般式
      • y=ax²+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）
    • 顶点式
      • y=a（x-h）²+k（a,h,k为常数，a≠0）
        • （h,k）是抛物线的顶点
    • 两点式
      • 
        • ，是二次函数与x轴交点的横坐标，a≠0
• 二次函数表达式
  • 待定系数法
    • 一般式
      • 已知抛物线上任意三点坐标
    • 顶点式
      • 已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值
    • 交点式（两点式）
      • 已知抛物线与x轴的两交点坐标时
• 二次函数与一元二次方程
  • 关系
    • 对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0） ，当y取定值d时，函数转化为一元二次方程ax²+bx+c=d.
    • 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标为，当x=时，函数值为0，因此，x=就是一元二次方程的一个解
  • 利用函数图像求一元二次方程根的近似值
    • 步骤
      • 作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数
      • 由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围
      • 观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）
    • 方法
      • 直接做出函数y=ax²+bx+c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根．
      • 先将方程变为ax²+bx=-c，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax²+bx和直线y=-c，图象交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根
      • 先将方程变为ax²=-bx-c，再分别做出抛物线y=ax²和直线y=-bx-c ，则两图象交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根
• 用二次函数解决问题
  • 基本思路
    • 理解问题
    • 分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系
    • 用函数关系式表示它们之间的关系
    • 用数学方法求解
    • 检验结果的合理性
  • 注意
    • 善于将实际问题转化为数学问题，再转化为函数问题
    • 注意自变量的取值范围，不仅保证函数解析式有意义，还要保证符合实际意义
• 图像与性质
  • 图像与性质
    • y=ax²（a≠0）
      • • 图象是一条抛物线，它是一条左右对称的、平滑的曲线
        • 对称轴是y轴，顶点是原点
          • 当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点
          • 当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点
        • |a|越大，抛物线的开口越小
      • 理解抛物线y＝ax²与y＝－ax²的关系
        • 抛物线y＝ax²与y＝－ax²关于x轴成轴对称，关于原点成中心对称
    • y=ax²+c（a≠0）
    • y=a（x-h）²
    • y=a（x-h）²+k（a≠0）
    • y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
      • • a,b,c的作用
          • a
            • a的符号决定抛物线的开口方向
              • a>0时，抛物线开口向上
              • a<0时，抛物线开口向下
            • a的绝对值决定抛物线的开口大小
              • |a|越大，抛物线开口越小
          • b
            • b=0
              • 对称轴为y轴
            • ab＞0
              • 对称轴在y轴左侧
            • ab＜0
              • 对称轴在y轴右侧
          • c
            • c=0
              • 图像过原点
            • c＞0
              • 与y轴的正半轴相交
            • c＜0
              • 与y轴的负半轴相交
          • b²-4ac
            • b²-4ac=0
              • 与x轴有唯一交点（顶点）
            • b²-4ac＞0
              • 与x轴有两个不同的交点
            • b²-4ac＜0
              • 与x轴无交点
  • 二次函数的图像变换
    • 平移
      • 上加下减（括号外）
      • 左加右减（括号内）
      • 解析式化为顶点式
    • 对称
      • 关于x轴对称
        • y=ax²+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx-c
        • y=a（x-h）²+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a（x-h）²-k
      • 关于y轴对称
        • y=ax²+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax²-bx+c
        • y=a（x-h）²+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a（x+h）²+k
    • 旋转
      • 绕原点旋转180°（即关于原点中心对称）
        • y=ax²+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax²+bx-c
        • y=a（x-h）²+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a（x+h）²-k
      • 绕顶点旋转180°（即关于顶点中心对称）
        • y=ax²+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx+c-
        • y=a（x-h）²+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a（x-h）²+k
  • 求抛物线的顶点、对称轴的方法
    • 公式法
      • y=ax²+bx+c=
        • 顶点坐标：
        • 对称轴是直线
    • 配方法
      • 运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-h）²+k的形式
        • 顶点坐标（h,k）
        • 对称轴是直线x=h
    • 运用抛物线的对称性
      • 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以关于对称轴对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点