21.圆

初中数学整体知识：圆的相关知识点思维导图

圆

• 圆
  • 概念
    • 1.在平面内把线段OA绕着端点O旋转1周，端点A运动所形成的图形叫作圆
      • 点O叫作圆心
      • 线段OA叫作半径
      • 以点O为圆心的圆，记作“☉O”，读作“圆O”
    • 2.☉O可以看成是到定点O的距离等于定长OA的所有点组成的图形。也就是说，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合
  • 点和圆的关系
    • 设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有
      • 点P在☉O内
        • d＜r
      • 点P在☉O上
        • d=r
      • 点Ｐ在☉O外
        • ｄ＞ｒ
  • 圆的相关概念
    • 弦
      • 连接圆上任意两点的线段叫作弦
    • 直径
      • 经过圆心的弦叫作直径
    • 弧
      • 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示。以Ａ，Ｂ为端点的弧记作，读作“圆弧ＡＢ”或弧ＡＢ。
    • 半圆
      • 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆
        • 大于半圆的弧叫作优弧，一般用三个点表示
        • 小于半圆的弧叫作劣弧，用两个点表示
    • 圆心角
      • 顶点在圆心的角叫作圆心角
        • 无特殊说明，平时在圆中所说的圆心角都是指不大于平角的角
    • 同心圆、等圆
      • 圆心相同，半径不相等的两个圆叫作同心圆
      • 能够互相重合的两个圆叫作等圆
    • 等弧
      • 能够互相重合的弧叫作等弧
        • 等弧只有在同圆或等圆中才会出现
• 圆的对称性
  • 对称性
    • 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。此外，圆具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，都能与它自身重合
  • 圆心角、弧、弦之间的关系
    • 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
    • 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
  • 垂径定理
    • 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧
• 确定圆的条件
  • 确定圆的条件
    • 不在同一条直线上的三点确定一个圆
  • 三角形的外接圆
    • 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形。外接圆的圆心叫作三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等
    • 三角形三边的垂直平分线的交点是唯一的，因此三角形的外接圆有且只有一个，即三角形的外心唯一。但一个圆的内接三角形却有无数个
• 圆周角
  • 定义
    • 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角
  • 圆周角定理
    • 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等
    • 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半
  • 圆周角与直径的关系
    • 直径所对的圆周角是直角
    • 90°的圆周角所对的弦是直径
• 直线与圆的位置关系
  • 位置关系
    • 1.相交
      • 直线与圆有两个公共点时，叫作直线与圆相交
        • d＜r
    • 2.相切
      • 直线与圆有唯一公共点时，叫作直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个公共点叫作切点
        • d=r
    • 3.相离
      • 直线与圆没有公共点时，叫作直线与圆相离
        • d＞r
  • 圆的切线
    • 切线的判定定理
      • 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
      • 经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；垂直于切线且过切点的直线必过圆心
    • 切线的性质定理
      • 圆的切线垂直于过切点的半径
  • 三角形的内切圆
    • 有关概念
      • 内切圆
        • 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆
        • 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的外心
        • 如果三角形三边长为a,b,c，内切圆半径为r，则三角形的面积为
          • S=1/2（a+b+c）r
      • 切线长
        • 定义
          • 在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长
        • 定理
          • 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
• 正多边形与圆
  • 概念
    • 各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形
  • 正多边形与圆的关系
    • 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等份，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。
    • 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径。另外，正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角
  • 正多边形的画法
    • 正n边形的画法思想是将圆n等分，然后顺次连接等分点即得到所要作的正多边形。如作正六边形，可以先画一个半径与已知边长相等的圆，然后在圆上面截取得到等分点，顺次连接各等分点。即得到所要作的正六边形
  • 正多边形的有关计算
    • 设正多边形的边数为n，半径为R，边长为a，则有
      • 1.正多边形的内角：(（n-2）*180°/n)=180°-（360°/n）
      • 2.正多边形的中心角：360°/n
      • 3.正多边形的周长：C=n*a
  • 正多边形的对称性
    • 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心。
    • 一个正多边形，如果有偶数条边，那么它又是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心
• 弧长及扇形的面积
  • 弧长公式
    • 在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角度数n之间有这样的关系：l=(n/360)*2πR=nπR/180
      • 当R为常数时，l是n的正比例函数；当n为常数时，l是R的正比例函数
  • 扇形面积公式
    • 扇形的定义
      • 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形
    • 扇形的面积
      • S=πR²*（n/360）=（n/360）πR²
      • S=0.5lR
• 圆锥的侧面积
  • 有关概念
    • 经过圆锥顶点和底面圆心的直线称为圆锥的轴
    • 圆锥底面圆上的任意一点与圆锥顶点的连线叫作圆锥的母线
    • 连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高
    • 圆锥的轴截面是等腰三角形
  • 侧面展开图及有关计算
    • 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形
    • 设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr
      • 圆锥的侧面积S=0.5*2πr*l=πlr
      • 圆锥的全面积S=πrl+πr²