9.一元二次方程

初中复习：一元二次方程基本知识点思维导图

一元二次方程

• 一元二次方程
  • 定义
    • 通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫作二元一次方程
  • 一般形式
    • ax²+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0）
  • 有关概念
    • 二次项系数
    • 一次项系数
    • 常数项
  • 一元二次方程的解/根
    • 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根
    • 利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程
• 解法
  • 解方程思路
    • 降次：把一元二次方程→一元一次方程
  • 直接开平方法
    • 形如（x+h）²=k的一元二次方程→x=±√k-h
  • 配方法
    • 定义
      • 把一个一元二次方程变形为（x+h）²=k的形式，当k≥0时，直接开平方。这种解一元二次方程的方法叫做配方法
    • 步骤
      • 1.化二次项系数为1
      • 2.移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项
      • 3.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平分，原方程变为（x+m）²=p的形式
      • 4.直接开平方：如果右边是非负数，直接开平方
  • 公式法
    • 定义
      • 一元二次方程的求根公式:一般地，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0），当b²-4ac≥0时，它的实数根是
    • 步骤
      • 1.将一元二次方程整理成一般形式
      • 2.确定公式中a，b，c的值
      • 3.求出b²-4ac的值
      • 4.当b²-4ac≥0时，将a，b，c的值代入求根公式即可。当b²-4ac＜0时，方程无实数根
  • 因式分解法
    • 定义
      • 如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么解这样的一元二次方程就可以转化为解两个一元一次方程，这种方法叫做因式分解法
      • 设A，B都是整式，若A*B=0，则A=0或B=0
    • 步骤
      • 1.移项：将方程的右边化为0
      • 2.化积：将方程的左边分解为两个一次式的乘积
      • 3.转化：令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程
      • 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
• 根的判别式
  • 定义
    • 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的情况可由b²-4ac来判定，因此b²-4ac叫作一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式,通常用“△”来表示
      • △=b²-4ac
  • 判别
    • 当b²-4ac＞0时，有两个不相等的实数根
    • 当b²-4ac=0时，有两个相等的实数根
    • 当b²-4ac＜0时，没有实数根
  • 根的判别式的应用
• 根与系数的关系
  • 当b²-4ac≥0时，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根
• 用一元二次方程解决问题
  • 步骤
    • 审、设、列、解、验、答
  • 根要符合实际情况