函数与极限

东北林业大学高数讲解，函数与极限，如 设D为非空实数集，f为对应法则，若任意x属于D都有唯一的实数y与之对应，称f为定义在D上的函数。

函数与极限

• 映射
  • 定义
    • 设XY是两个非空集合，如果存在一个对应法则发，使得对X中每个元素x按照法则f，在Y中有唯一的元素也与之对应，那么称f为X到Y的映射，记作f：X——
  • 注意内容
    • 集合X即定义域Df＝X，集合Y为值域记作Rf，f为对应法则
    • x对应唯一y，Rf是Y的一个子集
• 函数
  • 集合
    • 有限或无限个事物的总体
      • 有限集
        • 【a，b）或（a，b）的b-a
      • 无限集
        • 无限极不能这样算，因为无穷是符号，符号不参与各种计算
    • 列举法和描述法
    • 关系
      • 包含
        • 对于任意的x属于A必有x属于B
      • 相等
        • 对于X属于A必有X属于B，且对于X属于B必有X属于A
    • 去心领域
      • U＝（a，b）表示x减去a的绝对值大于0小于b
    • 领域
      • U＝（a，b）等于x减a的绝对值小于等于b
  • 定义：设D为非空实数集，f为对应法则，若任意x属于D都有唯一的实数y与之对应，称f为定义在D上的函数
    • 函数相同条件定义域和值域完全相同
    • 定义域
      • 保证好要有意义
    • 对应法则
  • 函数类型
    • 符号函数
      • 由于符号不能参与计算所以用符号函数将符号转为数字
    • 分段函数
      • 绝对值函数是分段函数，看到绝对值函数一定要想起分段
      • 取整函数去小于该书的最大的整数
  • 函数的几种特性
    • 有界性
      • 上界
        • 存在k对于任意的x属于X都有f（x）小于小于等于
      • 下界
        • 存在K对于任意的x属于X，都有f（x）大于等于K
      • 设M为K1K2绝对值的最大值
      • 有界以及无界的判断
        • 有界性
          • 存在一个M，任取x属于X都有f（x）小于等于M
        • 无界性
          • 任取一个M，存在x属于X，有F（x)大于M
    • 单调性
      • 对于任意的X1X2，X1小于X2，都有f（x）小于或大于f（x2）则为单调函数
      • 单调递增
      • 单调递减
      • 证明单调性的方法：相减相除
    • 奇偶性
      • 无论是奇函数还是偶函数定义域一定关于原点对称否则就是非奇非偶函数
      • 奇函数
        • 关于原点中心对称
      • 偶函数
        • 关于y轴对称
• 单调性的后期相减不太方便立刻通分
• 无界的证明
• 证明存在找到一个特殊的值符合即可
• 注意根号下x方为x的绝对值不等于x
• 由集合确定了函数的定义域
• 可以数集也可以是其他集合