高等数学下思维导图

基于天津大学数学学院高等数学习题辅导、试题等，空间线面、多元函数微分、多重积分、曲线面积分、级数的基本概念、重要公式、例题。

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• 向量
  • 角平分线
    • 单位向量相加
  • 加工向量 夹角
    • 平方
  • 面积
    • 向量叉积绝对值
  • 三角不等式
  • 叉积证明 等式
    • 设坐标
• 空间平面
  • 方程
    • 点法式
    • 一般式
    • 截距式
  • 点面距离
  • 平面夹角
  • 关于平面对称
    • 参数方程
      • 距离相等
        • 解t
• 曲面&曲线
  • 旋转曲面
    • 设点M(x,y,z)
      • 和L点M0等距离关系
        • 参数方程
          • 相等关系的某方向代换
  • 柱面方程
    • 原图形上的点M0(x0,y0,z0)
      • 该点等量关系
        • 带入
• 几何
  • 维维亚尼曲线
    • 球面∩柱面
  • 弧长
    • 弧微分思想
• 空间直线
  • 方程
    • 一般式
      • • 叉积求方向向量
    • 参数
    • 点向式
  • 直线夹角
  • 线面夹角
  • 点线距离
  • 直线最短距离
  • 过直线平面
  • 公垂线方程
    • 两线方向×
      • 公垂线方向
        • 过两线平面
  • 关于直线对称
    • 参数方程
      • 平面、交点
        • 向量的数量关系
  • 线在面 投影方程
    • 线取两点
      • 投影点延申的面垂线
        • 两投影点
          • 方向向量
    • 线平面束
      • 法向量⊥面法向量
• 分子
  • 分子作差
    • ×？+？平方差

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• 极限
  • 二重极限存在不保证二次极限存在；二次极限存在不保证二重极限存在
  • 在(x0,y0)某去心领域有定义，二重极限、两个二次极限存在
    • 三者相等
    • 两二次极限存在不等
      • 二重极限不存在
  • 趋近判定
  • 求极限
    • 有理化
    • 等价无穷小代换
    • 部分有界
    • 不等式
• 连续
  • 定义
    • • x0某邻域内有定义
    • • (x0,y0)是函数f(x,y)定义域的聚点
  • 讨论连续性
    • 判断极限存在
      • 两个二次极限存在
    • x²+y²=ρ²
      • • 洛
• 应用
  • 极值
    • =>
    • <=
      • • • 极值点
            • A<0
              • 极大值
            • A>0
              • 极小值
        • • 非极值点
        • • 不能判断
    • 拉格朗日乘数法
      • • • • 判断解出的各点是否极值点
              • 计算极值
                • 长短半轴
                  • 转化平移
                • 换形式
                  • 对数
                    • • 绝对值平方
    • 最值
      • 极值
      • 边界条件极值
  • 共面
    • 叉积=0
• 偏导
  • 定义
  • 二阶混合偏导存在、连续
  • 在(x0,y0)可微
    • <=
      • 连续
      • 存在xy偏导
    • =>
      • 偏导在邻域存在且连续
  • 微分
    • y=y(x)由F(x,y)=0确定
    • z=z(x,y) 由F(x,y,z)=0确定
  • 方向导数
    • • 方向
        • 方向余弦
  • 梯度
    • • 沿梯度方向增大最快，速度=|梯度|
      • 沿-梯度方向增大最快，速度=|梯度|
  • 夹角
    • 偏导数几何意义
  • 讨论可微
    • 偏导数
      • 高阶无穷小
    • 可微=>连续
      • • 偏导
    • 左右逼近
  • 求导
    • 等式两边求导代换
    • 隐函数
      • 方程两边同时对x求导
        • z按复合函数导
          • 得到z偏x，z偏y
      • 3方程5变量——2自由变量
        • 确定函数关系
          • 同时导
      • 3方程4变量——1自由变量
        • 确定未知数
          • 同时导
            • 解方程
• • 迫敛准则
  • 重要不等式
  • 可微
  • 连续
  • 极坐标
  • • 连续
    • 偏导数存在
    • 偏导数连续
    • 可微
  • 隐函数微分法
    • 一元隐函数
      • F(x, y) = 0
    • 多元隐函数
      • F(x, y, z) = 0
  • 复合x
• 等价无穷小替换

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• 二 重 积 分
  • 估值定理
  • 中值定理
  • 对称性
    • 奇偶中心
    • 轮换
  • 曲面面积
  • 质心，质量
  • 转动惯量
  • 没初等函数
    • 交换积分次序
    • 换元
      • sin cos
      • 2倍
  • sincos
    • 沃里斯公式
  • 绝对值
    • 分成2部分，不同范围2个积分
      • 分类讨论
    • 换元
  • 套娃积分
    • 提取无关量
      • 积分换序
        • 洛必达
  • 雅可比行列式
• 三 重 积 分
  • 投影法
  • 截面法
  • 换算
    • 柱坐标
    • 球坐标
  • 对称性
    • 奇偶中心
    • 轮换
  • 质心
  • 无法积分
    • 换序
• • 线性齐次微分方程
  • 沃里斯公式
• • 迫敛准则
  • 交换次序
  • 换元
  • 轮换性
  • 换元
  • 化导数

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• 曲线积分
  • 第一类曲线积分
    • 性质
      • f第..在L上存在 => 则f在L上有界
      • f在分段光滑L上连续 => f在L上第一类曲线积分存在
      • 线性
      • 中值定理
    • 计算
      • 参量方程
        • • 换元
      • 对称
        • 奇0偶2
      • 轮换对称
        • f在分段光滑L连续
      • 平方和
        • 参数方程
  • 第二类曲线积分
    • 性质
      • f沿L对坐标x曲线存在 => f在L上有界
      • f是定义在分段光滑有向L的连续函数 => f沿L对xyz曲线积分都存在
      • 线性
    • 计算
      • 参量方程
        • y=y(x)
          • • 曲线代入法
    • 有界闭区域D面积
  • 格林公式
    • D有界闭区域 边界L正向 PQ在D有连续一阶偏导
    • L1L2同向
      • • 分段光滑 PQ有连续一阶偏导 P'y=Q'x
      • 有界闭区域D正向边界L
    • 补全闭曲线
  • 路径无关
    • 单连通开区域D PQ在D一介连续偏导
      • 等价
        • 路径无关
          • 换有向折线
        • du=Pdx+Qdy
        • • <=>
            • Pdx+Qdy=0是全微分方程
        • 任一分段光滑有向闭曲线L
  • 原函数
    • du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
  • 转化
    • L除了某些点有连续一阶偏导 同向C包含这些点
      • L->C
• • A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
    • 散度
    • 旋度
• 空间曲线积分路径无关
  • 若PQR在一维单连域Ω一阶连续偏导
    • 等价
      • 只起始点有关
      • du=Pdx+Qdy+Rdz
      • 任意点
      • 任一分段光滑闭曲线L
• 斯托克斯
• 高斯公式
  • PQR在Ω一阶连续偏导
    • • ε外侧
        • 若ε光滑
          • • 外法向量方向余弦
• 曲面积分
  • 第一类曲面积分
    • 性质
    • 计算
      • 投影
    • 奇0偶2
    • 轮换对称
  • 第二类曲面积分
    • 性质
      • 奇0偶2
    • 计算
      • z=z(x,y)
        • • f(x,y)=0
      • 投影法
      • 高斯公式
      • 更换曲面法
        • 非闭曲面 PQR偏导和=0 相同边界
        • 闭曲面 PQR偏导和=0
      • 关系
      • 参数方程
    • 流量
    • 通量
      • • A通过曲面的通量
    • 质量
    • 轮换
• • 不定积分求原函数
• • 沃里斯公式
  • 合一投影法
• 应用

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• 数项级数
  • 调和级数
  • 等比级数
    • • |q|>1发散
  • P-级数
    • • P≤1
        • 发散
      • P＞1
        • 收敛
  • 性质
    • 收敛线性保持
    • 发散和不一定发散
    • 敛散和一定发散
    • 改变有限项值不改敛散性
      • 收敛可能改变和
    • 各项任意合并，收敛性、和不变
      • 改次序可能变
    • • 判断发散
        • 通向不收敛于0必发散
• 正项级数 敛散性判别
  • 正项级数收敛=>有上界
  • 比较判别法
    • • 0 < l < +∞
        • 同敛散
      • 0
        • 同收敛
      • +∞
        • 同发散
  • 比值判别法
    • • 0 ≤ ρ ＜ 1
        • 收敛
      • ρ ＞ 1
        • 发散
      • 1
        • 失效
      • 阶乘、次方
  • 根值判别法
    • • 0 ≤ ρ ＜ 1
        • 收敛
      • ρ ＞ 1
        • 发散
      • 1
        • 失效
  • 积分判别法
    • 非-减函数f(n)=un
      • 同敛散
• 交错级数
  • 莱布尼茨定理
    • un>0
      • 收敛
        • ||收敛-绝对收敛
• 傅里叶级数
  • 狄利克雷
    • 一周期内连续/有限个第一类间断点，有限个极值点
  • 周期延拓
    • 周期2l
• 泰勒公式
  • 条件
  • 收敛域
  • • • 二项式级数 范围与α有关
• 主题
  • Abel定理
    • 在x0收敛 => |x|<|x0|一切x绝对收敛
  • 收敛半径
    • (根值判别倒数)
    • 换元
  • 性质
    • 逐项积分
      • • 收敛域可能变大
    • 逐项求导
• • 连续比较
  • 部分和
  • 积分
    • • 范围
• • 积化和差