导图社区 第一章：矩阵入门
《线性代数及其实验》第一章知识整理，矩阵入门。
《线性代数及其实验》第二章思维导图整理。
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矩阵
4.矩阵（线性）运算
加法运算
对应元素相加；记作C=A+B
负矩阵；记作-A
（减法运算）
数乘（数量乘法）运算
数k与矩阵每一个元素相乘；记作kA
运算律（同型矩阵A，B，C）
加法交换律A+B=B+A
加法结合律（A+B）+C=（B+C）+A
A+0=0+A=A（0为同型矩阵）
A+（-A）=0
1A=A
k（lA）=（kl）A
k（A+B）=kA+kB
（k+l）A=kA+lA
矩阵乘法
前行后列数，先行上左数，先行上右数，后列下左数，后列下右数
大前提：左列=右行
特性
对于单位矩阵E有：EmAm*n=A
对于数量矩阵An*n有：ABn*m=aB
非零矩阵相乘可能为零矩阵，非零数相乘一定不为零
矩阵乘法不满足乘法消去律
矩阵乘法满足结合律，分配律
（aE）A=a（EA）
数量矩阵加法，乘法完全可以归纳为数的加法，乘法
矩阵形式的线性变换
投影变换
旋转变换
方阵的幂（A为n阶方阵）
规定A0=E
运算律
AkAl=A（k+l）
（Ak）l=Akl（其中kl为N*）
矩阵的置换
定义：将矩阵的行列互换
置换后矩阵记作：AT，A‘
（AT）T=A
（A+B）T=（AT+BT）
（kA）T=kAT（k为数）
（AB）T=BTAT
对称矩阵
定义AT=A
特征：元素以主对角线对称
反对称矩阵
定义AT=-A
特征
主对角线上所有元素为0
其余元素关于主对角线互为相反数
（反）对称矩阵置换仍为（反）对称矩阵
₰共轭矩阵
性质：参照共轭复数
5.分块矩阵及运算
分块矩阵
目的：分化运算
分块矩阵的运算
行对列分别相同
常见的分块形式
对角分块
对角分块矩阵（准对角矩阵）
按行分块
按列分块
6.初等变换
线性方程组的初等变换
互换两个方程的位置
用一个非零数乘某一个方程
把一个方程的倍数加在另一个方程上
矩阵的初等变换
矩阵的初等行变换
1.互换两行
2.以非零数乘某一行
3.把某一行所有元素的k倍加在另一行的对应元素上
矩阵的初等列变换
A与B等价
定义：如果A经过有限次变换成B则A与B等价
记作：A≌B
性质
反身性
A≌A
对称性
若A≌B，则B≌A
传递性
若A≌B，B≌C，则A≌C
标准型
形式最简矩阵
初等矩阵
定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵
形式一
把单位矩阵的第ij两行对调
表示符号：E（i，j）
初等矩阵左乘矩阵（EmA）
等价于初等行变换1
初等矩阵右乘矩阵（AEm）
等价于初等列变换1
形式二
以非零数k乘单位矩阵的第i行（列）
表示符号：E（i（k））
初等矩阵左乘矩阵（E（i（k））A）
等价于初等行变换2
初等矩阵右乘矩阵（AE（i（k）））
等价于初等列变换2
形式三
以数k乘单位矩阵的第j行然后加在i行
表示符号：E（j（k），i）
定理（对于A=（aij）m*n）
对A实施一次初等变换得到的矩阵等于用同种m阶初等矩阵右乘A
对A实施一次初等变换得到的矩阵等于用同种m阶初等矩阵左乘A
矩阵基础
线性变换
n个变量与m个变量的关系式
变换的系数满足矩阵A=（aij）n*m
线性方程组：
系数矩阵
特列
增广矩阵
同型矩阵
列
网络图
有向图
无向图
邻接矩阵
3.特殊矩阵
方阵
单位矩阵
简记：E或I
行矩阵
只有一行的矩阵（行向量）：A=
列矩阵
只有一列的矩阵（列向量）：B=p
零矩阵
（上）下三角矩阵
对角矩阵
简记：diag（a1，a2,...,an)
若a1=a2=....an=a则为数量矩阵
当a=1时为单位矩阵
行阶梯形矩阵
行简化阶梯形矩阵（行最简矩阵）
列阶梯形矩阵
列简化阶梯形矩阵（列最简矩阵）
1.简易概念
一种简化计算的数学工具
m行n列的数学表格
简记
矩阵形式
A=（aij）
