第六章：常微分方程

常微分方程便于日常的学习与理解，整理成思维导图分享给大家。

第六章 常微分方程

• 基本概念
  • 微分方程
    • 常微分方程（未知函数是一元函数）
  • 线性/非线性
    • 未知函数和它的各阶导数是一次的为线性，否则非线性
  • 齐次/非齐次
    • 等式右边若为0则为齐次/等式右边是f(x)则为非齐次
  • 微分方程的阶
  • 微分方程的通解/特解
  • 微分方程的初始条件
• 几种微分方程的分类
  • 一阶微分方程
    • 常见的类型
      • 可分离变量的方程
        • 形式
        • 解法
          • 等式两端分离后各个积分
      • 一阶线性方程
        • 形式
          • 非齐次
          • 齐次
        • 解法
          • 积分因子法（常用）
          • 公式法
          • 常数变易法
      • 全微分方程
        • 形式
        • 条件
        • 解法
          • 特殊路径法（常用）
          • 不定积分法
          • 凑微分法
      • 经过变换可化为上面三种的方程
        • 齐次方程
          • 形式
          • 变量代换
          • 解法
        • • 变量代换
          • 解法
            • 化为变量分离的方程
        • • 分为两种情况
            • • 变量代换
              • 解法
                • 化为齐次方程
            • • 变量代换
              • 解法
                • 化为变量可分离的方程
        • 伯努利方程
          • 形式
          • 变量代换
          • 求解
            • 化为一阶线性方程
        • • 变量代换：自变量与因变量互换
          • 求解
  • 可降阶的高阶方程
    • • 求解方法
        • n次积分
    • 不显含y的二阶方程
      • 形式
      • 求解方法
    • 不显含x的二阶方程
      • 形式
      • 求解方法
  • 含变限积分的方程
    • 求解方法
      • 求导
      • 部分需要变量替换，得到积分限不含其它变量
  • 二阶常系数齐次微分方程
    • 解法步骤
      • 写出特征方程
      • 解出特征方程的根，并依据三种情况，写出通解形式
  • n阶常系数齐次微分方程
    • 解法步骤
      • 写出特征方程
      • 解出特征方程的根，并依据三种情况，写出通解形式
  • 二阶常系数非齐次微分方程
    • 二阶常系数非齐次线性微分方程
      • 三种特解形式
    • 欧拉方程
      • 意义：在于将变系数微分方程化为常系数微分方程，再去求解
• 线性微分方程解的结构与性质
  • 解的性质
  • 通解的机结构
• 应用
  • 结合弧长、曲率、点法式方程等建立方程，最后求解（注意有时可能暗含初值问题）