高数极限知识归纳

高等数学之不定积分知识点归纳总结

极限

• 数列极限
  • 数列概念
  • 数列极限定义
    • 描述性定义
    • 精确定义
      • 利用定义证明极限（关键求N）
        • 步骤一：给定ε＞0，假设|Xn-A|＜ε成立
        • 步骤二：将不等式|Xn-A|＜ε整理成n＞f（ε）的形式
        • 步骤三：取正整数N【f（ε）】
  • 性质
    • 1唯一性
      • 若数列收敛则极限唯一
    • 2有界性
      • 收敛的函数都是有界的
    • 推论：有界是收敛的必要不充分条件
• 函数极限
  • 极限
    • 极限存在：左右极限存在且相等
  • 性质
    • 1唯一性
      • 极限值唯一
    • 2局部保号性
    • 3局部有界性
    • 4保不等式性
    • 5极限的保号性
  • 做题
    • 函数极限不存在
      • 找到一个极限不存在
      • 两个极限存在但相等
• 无穷：无穷大与无穷小
  • 无穷小
    • 定义
      • 向0逼近
    • 性质
      • 无穷小 x 有界（多为确定的数、三角函数、绝对值）=无穷小
      • 有限个无穷小的代数和是无穷小
      • 常数与无穷小之积仍为无穷小
      • 有限个无穷小之积仍为无穷小
  • 无穷大
    • 定义
      • 向+oo或-oo逼近
    • 性质
      • 无穷大相乘仍为无穷大
      • 无穷大+有界函数仍为无穷大
  • 两者关系
    • 无穷大的倒数为无穷小
    • 无穷小的倒数为无穷大（要求分母不为0）
• 极限运算
  • 四则运算
    • 条件：1极限存在；2有限个
    • 定理
      • ±：先求极限再相加减
      • x÷：先求极限再相乘除
    • 推论
      • 可朝外提
        • 常数
        • 与x无关的变量
  • 求极限
    • 多项式比多项式
      • 直接代入
    • 无穷比无穷的分式
      • 分子分母最高项同次
        • 最高次系数之比
      • 分子分母不同次
        • 分母次数较高
          • 结果为0
        • 分子次数较高
          • 结果为无穷
    • 无限项之和
      • 不可分开计算，先用求和公式处理
    • 根号
      • 分子有理化
    • 消掉
    • 无穷小替换
    • 洛必达
  • 复合函数
  • 极限存在准则
    • 准则一：夹逼定理
    • 准则二
      • 单调有界一定存在极限
  • 两个重要极限
    • lim x趋于0 sinx|x=1
      • lim x趋于0 tanx|x=1
        • 关键：凑x的整体思想
    • lim x趋于无穷 （1+1|n）*n=e
      • 关键：加号、n的倒数关系
• 无穷小比较
  • 等价无穷小代换
    • 条件
      • x趋于0
      • 相乘
    • 公式
      • sinx、tanx、arcsinx、arctanx、ln（x+1）、e*x-1 ~ x
      • 1-cosx ~ 1|2x*2
      • a*x-1 ~ xlna
      • （1+βx）*α~αβx
      • loga（1+x）~ x|lna
      • x-sinx~x*3|6