第五章 多元函数微分学

武忠祥高数强化，汇总了重极限、连续、偏导数、全微分(概念、理论)、偏导数与全微分的计算、极值与最值知识。

第五章 多元函数微分学

• 第一节 重极限、连续、偏导数、全微分（概念、理论）
  • 题型：讨论连续性、可导性、可微性
    • 例1：分段函数分界点处连续性、可偏导与可微。
    • 例2：连续、可偏导、可微关系
    • 例3：概念题 可微充分条件。全微分定义判定可微性公式。
    • 例4：概念题 由已知条件判可微与可偏导
    • 例5：给出公式求已知点全微分 法：1定义判定公式、2特殊函数
• 第二节 偏导数与全微分的计算
  • 题型一：求一点处的偏导数与全微分
    • 例1：求分段函数分界点处偏导数，法：定义法
    • 例2：先代后求
    • 例3：高阶偏导 一样先代后求
    • 例4：变花样 先代后求
  • 题型二：求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分
    • 例1：直接求偏导
    • 例2：幂指函数求偏导。法1：改写e、2取对数、3链导法
    • 例3：知道偏导求函数，反问题。 求偏积分
    • 例4：高阶混合偏导。法1：偏积分，再积分。2人为制造偏导数
    • 例5：高阶混合偏导。法：求偏积分再求混合偏导。
    • 例6：带函数的抽象表达式，法：一阶线性微分方程 ，求偏导或者凑微分
  • 题型三：含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分
    • 例1：抽象符合函数的偏导数。法一：两边求导，法二：构造特殊函数。
    • 例2：变花样带变上限积分，二阶或复合求导。法一：直接求导 法二：构造函数排除法
    • 例3：考查二阶连续偏导，特别注意f1 f2代表含义，求导容易漏项。
    • 例4：复合两层，内外层均有f
    • 例5：复合三层 法：画变量树形图
    • 例8：常见综合题 多元微分与微分方程综合题。
    • 例6：变花样复合函数。变量代换成 u v。
    • 例7：综合题 多元抽象函数，复合函数求导。法一：通过等量代换，转化为微分方程。变换思路要注意。法二：变换思路成x y 节省很多计算
    • 例9：极坐标与多元微分
    • 例10：难题 n次齐次函数与偏导充要证明
  • 题型四：隐函数的偏导数与全微分
    • 例1: 基本题 隐函数求导 法一：公式法，法二：两边求导，法三：微分形式不变性
    • 例2：代公式方便的隐函数求导
    • 例3：相对综合求隐函数偏导 法一：画变量树形图，在两端求导。法二：微分不变性
    • 例4：既有复合又有隐函数 法一：画变量树形图，两端求导 法二：微分形式不变性
    • 例5：稍微综合，带有复合函数y与隐函数，确定y=y(x)容易把自己转进去。 法一：两端求导 法二：微分形式不变性
    • 例6： 难题 综合题
• 第三节 极值与最值
  • 题型一：求无条件极值Z
    • 例1：求无条件极值 法：两步走 先求导数找驻点，再 AC-B²做判定
    • 例2：带参数a的无条件极值，法：与例1一样，多一步讨论a取值
    • 例3：隐函数极值，法一：大体与显函数无异。按隐函数求偏导，驻点跟z还有关系 法二：球面方程 不常用
    • 例4：综合性强，给出全微分极限，求极值。法：从给出极限条件，知点（0，0）可微，偏导可求。三步走：一考查微分概念 二抽象复合函数求导数（麻烦点） 三无条件极值必要条件与充分条件。 第二步求复合函数偏导数可先代后求，简便一点
    • 例5：变花样，给出极限，求偏导存在性与是否有极值。法：思路参考一元，保号性与去心邻域 法二：特殊函数排除法
    • 例6： 变花样，给出极限，求偏导存在性与是否有极值 法：保号性与有界性不好用时，采用极限与无穷小的关系。 注意经典错误：去心邻域函数值正负有xy共同决定。
  • 题型二：求最大最小值
    • 例1：有条件最值，核心 画条件为无条件，y用x表示。找区域内部极值与边界上最值比较，得最大最小值。
    • 例2：有条件最值，条件为圆，法一：拉格朗日乘数法，法二：化条件为无条件。圆用参数方程表示，用初等数学法。法三：借助几何意义。灵活点，配方->几何意义。
    • 例3：n元函数在m个约束条件下的极值问题，解方程。
    • 例4：应用题，椭圆上求到直线的距离最短。法一：建立目标函数，拉格朗日乘数法，求最值。法二：采用几何法，切线与椭圆平行，
    • 例5：提高难度，旋转体体积
    • 例6：应用题 （仅数三要求）
    • 例7：利用条件极值证明多元不等式，基本思想：右边为k，证明左边M≤k 或者 左边为k,证右边M≥k。 转化不等式为求条件最值问题。