向量与坐标的思维导图

解析几何第五版书的第一章向量与坐标思维导图，两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们的模和方向决定（自由向量）。

向量与坐标

• 基础
  • 概念及定义
    • 既有大小又有方向的量叫做向量,or矢量
    • 两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们的模和方向决定（自由向量）
    • 模长等于0的向量称为零向量，零向量的方向不定（不是没有方向）
    • 平行于同一直线（同一平面）的一组向量叫做共线向量（共面向量）
  • 向量的加法
    • 满足交换律结合律
    • 三角形法则
    • 平行四边形法则
  • 数乘
    • 满足结合律，第一分配律，第二分配律
    • 数量与向量的乘法
  • 向量在轴上的射影
    • |(A^' B^' ) ⃗ |为(AB) ⃗在l上的射影
    • (A^' B^' ) ⃗为(AB) ⃗在l上的射影向量
    • 〖射影〗_l (a ⃗+b ⃗ )=〖射影〗_l a ⃗+〖射影〗_l b ⃗
    • 〖射影〗_l (λa ⃗ )=λ〖射影〗_l a ⃗
  • 数量积
    • 满足交换律，分配律and数因子的结合律
    • a ⃗∙b ⃗=|a ⃗ |∙|b ⃗ |∙cos∠(a ⃗,b ⃗ )
• 进阶
  • 向量的线性关系与向量的分解
    • 定义
      • 向量的加法and向量的乘法统称为向量的线性运算
        • 可以用来线性组合的向量的维度是一样的
        • 由向量(a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗,…(a_n ) ⃗与实数λ_1,λ_2,…λ_n所组成的向量
        • a ⃗=λ_1 (a_1 ) ⃗+λ_2 (a_2 ) ⃗+⋯+λ_n (a_n ) ⃗
        • 叫做向量(a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗,…(a_n ) ⃗的线性组合
        • 也说a ⃗可以用(a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗,…(a_n ) ⃗线性表示
      • 线性相关and线性无关
        • 对于n(n≥1)个向量(a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗,…(a_n ) ⃗,如果存在不全为零的n个数λ_1,λ_2,…λ_n,使得λ_1 (a_1 ) ⃗+λ_2 (a_2 ) ⃗+⋯+λ_n (a_n ) ⃗=0 ⃗,那么就称这n个向量是线性相关的，不是线性相关的向量称呼为线性无关的。
        • 只有当λ_1,λ_2,…λ_n 均为0时这个等式才成立时，则称这n个向量为线性无关的
    • 定理
      • 向量a ⃗与向量b ⃗共线的充要条件是a ⃗=xb ⃗,系数x为唯一确定，且b ⃗不为零向量
      • 向量a ⃗与向量(b_1 ) ⃗,(b_2 ) ⃗共面的充要条件是a ⃗=x(b_1 ) ⃗+y(b_2 ) ⃗,系数x,y为唯一确定，且(b_1 ) ⃗,(b_2 ) ⃗不共线
      • 如果说向量(b_1 ) ⃗,(b_2 ) ⃗,(b_3 ) ⃗不共面，空间内任意向量a ⃗均可以用向量(b_1 ) ⃗,(b_2 ) ⃗,(b_3 ) ⃗线性表示，或者说空间内任意向量a ⃗可以分解成向量(b_1 ) ⃗,(b_2 ) ⃗,(b_3 ) ⃗的线性组合
      • 三向量共面的充要条件是它们线性相关
    • 推论
      • 如果一组向量中含有零向量，那么这组向量必线性相关
      • 空间中四个以上的向量总是线性相关的
      • 一个向量线性相关的充要条件为它本身是零向量
  • 向量的乘积
    • 满足分配律，即(a ⃗±b ⃗ )×c ⃗=a ⃗×c ⃗±b ⃗×c ⃗ 满足关于数因子的结合律 额外的，若a ⃗，b ⃗互相平行，则这两个向量的向量积为零向量
    • 叉乘
      • 
      • 两个向量
        • |a ⃗×b ⃗ |=|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅sin⁡〖∠(a ⃗，b ⃗ )〗
        • a ⃗×b ⃗=c ⃗
          • |c ⃗ |=|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅sin⁡〖∠(a ⃗，b ⃗ )〗
          • 且满足a ⃗，b ⃗均与c ⃗垂直
      • 三个向量
        • 最终结果仍然为一个向量
        • 定义
          • 给定空间中任意三向量，先做其中两个向量的向量积，再做所得向量与第三个向量的向量积，叫做所给三向量的双重向量积
        • 定理
          • (a ⃗×b ⃗ )×c ⃗=(a ⃗⋅c ⃗)⋅b ⃗-(c ⃗⋅b ⃗ )⋅a ⃗
            • 中间的向量与其余两向量的数量积的乘积减去括号内另一个向量与其余两个向量的数量积的乘积
    • 混合积
      • 最终结果是一个数量而非矢量
      • 性质
        • 三个不共面的向量a ⃗，b ⃗，c ⃗的混合积的绝对值等于以a ⃗，b ⃗，c ⃗为棱的平行六面体的体积V
      • 定理
        • 三向量a ⃗，b ⃗，c ⃗共面的充要条件是a ⃗，b ⃗，c ⃗的混合积为零
        • 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变乘积符号
  • 标架与坐标
    • 标架
      • 笛卡尔标架
        • 笛卡尔直角标架
          • 左手标架
          • 右手标架
        • 仿射标架
    • 坐标
      • 两向量的和的坐标等于两下量向量对应坐标的和
      • 两个非零向量共线的充要条件是对应坐标成比例
• 必备知识
  • 矩阵
• 额外知识
  • 拉格朗日方程恒等式
  • 雅可比恒等式
• 以a，b为边所形成的平行四边形的面积
• 只由模和方向决定的向量