导图社区 高中数学空间向量与立体几何思维导图
根据高中数学选修2-1空间向量与立体几何知识点整理，分享给各位小伙伴参考。
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空间向量与立体几何
空间向量及其运算
空间向量及其加减运算
空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
(1)几何表示法：空间向量用有向线段表示．

4．几类特殊的空间向量
空间向量的加减法与运算律
特别提醒
平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减)法运算．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
题型探究
一、空间向量概念的应用
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
二、空间向量的加减运算
(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．特别提醒：首尾连接向量的和为0.
(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
空间向量的数乘运算
共线定理与共面定理
共线(平行)向量与共面向量
一、空间向量的数乘运算
利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
二、空间向量共线的判定
利用空间共线向量定理可解决的主要问题
(1)判断两向量是否共线：判断两向量a，b(b≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a＝λb.
(2)求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用“若a∥b，则a＝λb(λ∈R)”．
(3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)是否共线的三种方法：
三、空间向量共面问题
证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．
空间向量的数量积运算
空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
空间向量的数量积及运算律
1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
2．数量积的运算律
注意：空间向量的数量积不满足结合律．
3．空间两向量的数量积的性质
一、数量积的计算
数量积的计算方法
(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．
(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
二、利用数量积证明垂直问题
(1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量(a，b是非零向量)，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
(2)用向量法证明线面(面面)垂直，离不开线面(面面)垂直的判定定理，需将线面(面面)垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．
三、数量积求解空间角与距离
空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
空间向量的坐标表示
一、基底的判断
空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．
二、用基底表示向量
(1)空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的．
(2)用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示．
(3)在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底．
三、空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的步骤
空间向量运算的坐标表示
空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
一、空间向量坐标的计算
关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．
二、空间向量平行、垂直的坐标表示
判断空间向量垂直或平行的步骤
(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行．
三、空间向量的夹角与长度的计算
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．
立体几何中的向量方法
用空间向量解决立体几何中的平行问题
直线的方向向量与平面的法向量
1.用向量表示直线的位置
2. 用向量表示平面的位置
(1)通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：
(2)通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：
3.直线的方向向量和平面的法向量
平面的法向量及其求法
在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：
(1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量．
用空间向量处理平行关系
一、求平面的法向量
求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.
二、利用空间向量证明平行问题
证明线面、面面平行问题的方法
(1)用向量法证明线面平行：
①是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
②是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；
③是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
用空间向量解决立体几何中的垂直问题
向量法判断线线垂直
向量法判断线面垂直
向量法判断面面垂直
一、证明线线垂直问题
证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
二、证明线面垂直问题
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一：基向量法
(1)建立空间直角坐标系．
(2)将直线的方向向量用坐标表示．
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：坐标法
(3)求出平面的法向量．
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
三、证明面面垂直问题
证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
用空间向量解决空间角
空间三种角的向量求法
空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解
一、异面直线所成的角
求异面直线夹角的方法
(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．
运用向量法常用两种方法：
①基底法
②坐标法
根据题目条件建立适当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．
二、直线与平面所成的角
利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(3)求平面的法向量n；
三、二面角
利用向量方法求二面角的大小时，多采用求法向量的方法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这种方法求解时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐二面角还是钝二面角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来．
用向量法求点面距的步骤
①建系：建立适当的空间直角坐标系．
②求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
③求向量：求出相关向量的坐标．
④求法向量：设出平面法向量利用向量垂直的条件转化为求解方程组求出法向量．
制作者：Sky
