《2页纸图解数学》读书笔记

《2页纸图解数学：以极聪明的方式，让你三步读懂数学》是一本关于数学的科普图书，独创的“多维度看全”“关键点梳理”“一分钟记忆”三步法，让你轻松读懂100个关键的数学概念。本书旨在探索简单的方法，来帮读者理解并记住数学最具开创性的概念，是非常值得阅读的入门级数学科普图书。

2页纸图解数学

• 数学技巧
  • 公理、定理和证明
    • 数学家的极简主义风格
  • 归纳法
    • 通过连锁反应来进行证明
  • 归谬法
    • 如果它不能不成立，那么它就一定成立
  • 极限
    • 越来越接近……
  • 逻辑
    • 思维的法则
  • 哥德尔不完全性定理
    • 了解什么是我们无法证明的
  • 集合论
    • 简单的基础理论
  • 积
    • 将多个事物相乘
    • 键值对
      • 字典
      • Map
  • 映射
    • 唯一的联系
  • 等价
    • 划分然后攻克
  • 逆
    • 将过程逆转
  • 施罗德-伯恩斯坦定理
    • 构造相等关系
  • 范畴“普遍化的无意义”
• 各种类型的数
  • 自然数
    • 用来计数的数
  • 科拉茨猜想
    • 讲起来很简单，证起来却很难
    • X3+1
  • 希尔伯特旅馆
    • 部分等于整体
  • 质数数论的基本元素
  • 孪生质数猜想
    • 相邻的两个奇数
  • 哥德巴赫猜想
    • 将质数相加
  • 负数
    • 小于零的数
  • 有理数
    • 进一步发展出分式
  • 幂
    • 乘，再乘
  • 多项式
    • 未知量
  • 对数
    • 幂的逆运算
  • 无理数
    • 当有理数已经不能满足我们的需要时
  • 实数
    • 能定义所有点
  • 康托尔对角线论证
    • 不同大小的无穷
  • 无穷基数
    • 可以一直进行下去的无穷
  • 连续统假设
    • 一条线上有几个点？
  • 超越数
    • 代数不能解决的
  • π
    • 定义圆的一个数
  • 虚数
    • 数学家们凭空造出来的数
  • 复数
    • 两维空间内的算术
  • 四元数
    • 它们是数字还是旋转？
• 结构的科学
  • 抽象代数
    • 不再关乎数字
  • 二元运算
    • 合二为一
  • 结合、交换和分配
    • 抽象的性质
  • 群
    • 对称结构
  • 饰带和壁纸的图样
    • 十七种壁纸的图样
  • 有限单群
    • 庞大的定理
  • 李群
    • 平滑的对称
  • 环和域
    • 一般意义上的运算
  • 伽罗瓦理论
    • 进一步研究域
  • 丢番图方程不可判定的整数问题
  • 费马最后定理
    • 解决一个没有答案的问题
  • 不可解的五次方程
    • 一、二、三、四都可以，但五不行
  • 黎曼猜想
    • 找零点
  • 序理论
    • 区分大小的结构
  • 同调代数
    • 研究由映射构成的序列
• 连续性
  • 导数
    • 做一条切线
  • 泰勒级数
    • 近似计算不好处理的函数值
  • 积分
    • 化圆和其他曲线为方
  • 微积分基本定理
    • 积分和求导是互逆的过程
  • 病态函数
    • 不合常规到撼动了微积分
  • 微分方程
    • 物理的语言
  • 变分法
    • 找函数的极值
  • 向量
    • 带有方向的数
  • 散度和旋度
    • 对向量进行求导
  • 欧几里得空间
    • 常规几何的背景条件
  • 流形
    • 它们局部看起来是平的
  • 张量积
    • 从原向量空间得出新的向量空间
  • 共变和反变
    • 它们看上去很像，实际上却相反
  • 矩阵
    • 一类令人满意的变换
  • 对偶向量每个向量空间都有一个对应的镜像
  • 张量场
    • 空间中发生的事物
  • 极小曲面
    • 可以对肥皂泡求微积分吗？
  • 表示论
    • 用矩阵构造模型
• 空间中的数学
  • 平行线
    • 它们永远无法相交
  • 不可能的构造
    • 所有的理论都存在局限
  • 拓扑
    • 不考虑测量的几何
  • 三角剖分
    • 单纯形的复形
  • 欧拉示性数
    • 用三角剖分研究拓扑
  • 照明问题
    • 一间全是镜子的房间对几何学者的挑战
  • 度量空间
    • 不要把测量当作一件想当然的事情
  • 曲率
    • 空间是怎样变化的
  • 维度
    • 将空间坐标化
  • 分形维度
    • 长度和面积之间是什么？
  • 球面几何
    • 有其上，必有其下
  • 双曲几何
    • 当曲率为负
  • 正密铺
    • 将空间“像素化”
  • 瑟斯顿几何化定理
    • 三维空间局部看起来的样子
  • 射影几何
    • 画家们发明出来的几何
  • 超正方体
    • 一个四维立方体
  • 代数拓扑
    • 数学家们的幻灯机
  • 纽结理论
    • 将绳子打结
  • 庞加莱猜想
    • 聚焦于三维流形
  • 簇
    • 和流形类似，但是更加奇特
  • 希尔伯特零点定理
    • 代数几何学家的词典
• 数学与现实的交汇
  • 迭代
    • 重复的力量
  • 布劳威尔不动点定理
    • 有些事物一直没发生改变
  • 混沌理论
    • 复杂源于简单
  • 阶乘
    • 剧增的数
  • 组合学
    • 计数的艺术
  • 图形
    • 把事物连接在一起
  • 概率
    • 有关不确定情况的推理
  • 统计
    • 关于数据的语言
  • 布朗运动
    • 小幅度的随机游走
  • 博弈论
    • 从博弈中学习
  • 可计算性
    • 机器可以做什么？
  • P与NP
    • 有些问题是无法当即解决的