导图社区 高数强化（极限）(1)
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数据结构
高数强化1
函数的极限与连续
函数极限的定义及使用4分
定义
使用
是常数
令其为A
扩展只要存在就可以令其为A
唯一性
左极限等于右极限
局部有界性
[]（）的区别p3
闭区间连续必有界
开区间左右极限存在
局部保号性
脱帽法（大于，小于）
等式脱帽法
A+α，α→0
已知某一个等式→其相似的等式，尽量用已知的替换需要求的未知量
多元极限
求原函数
已知一个函数的极限，求与其相似的函数极限 例1.5
函数极限的计算
类型
0/0
洛必达
泰勒公式
∞/∞
∞-∞
有分母则通分
没有分母，创造分母再通分，令x=1/t
∞的0次方，0的∞次方
用e代换
1的∞次方
p11注（1）
化简先行
等价无穷小的替换
与归结原则的结合
与数列的极限的结合
无穷小的加减
例1.6
复杂的先化简
恒等变式
提取公因式
换元（x=1/t）等
（x=1/t）
积分的换元（符合求导条件：被积分的函数的未知量不能出现在积分的上下限中）再用洛必达
积分的拆分后符合求导条件再用洛必达
带根号的代换为不带根号的
sinπx，x→1：可以替换为y=πx，且y→0
通分
用公式
因式分解
分子有理化
带根号
简单的直接换
复杂的换元之后再换
幂指函数的代换e
中值定理
拉格朗日中值定理
函数差值
f（x+1）-f（x）
可以再结合夹逼准则
函数与导数
牛顿莱布尼兹公式
函数与积分
积分中值定理
积分与函数
3阶以上
及时提出极限存在且不为零的因式
洛必达法则
三个条件
0/0或∞/∞
分子分母都可导
结果是0、非零常数、∞（求导之后）
条件
x→0
tanx
arcsinx
arctanx
（1+x）a次方
|x|<1
1/（x+1）
1/（x-1）
ln（1+x）
x→∞，
无条件
sinx
e^x
cosx
A/B型上下同阶
A-B型幂次最低
无穷小比阶
0
高阶无穷小
∞
低阶无穷小
c
同阶无穷小
1
等价无穷小
无穷小加减乘除再求极限的运用
加减是低级吸收高级
乘法是对应指数的加减
对于递推式n=1、2、3......（不是单一的函数求极限），观察函数可以先写出n=1和n=2的例子找规律，然后在求解 例1.10
函数极限的存在性
具体型（若洛必达失效，则用夹逼准则或泰勒公式）
抽象型（单调有界准则）
单调递增有上界
单调递减有下界
应用；连续与间断
研究位置
无定义点
分段函数的分段点
连续
内点处
常用于确定f（x0）=极限趋向的值
端点处
左端点右连续，右端点左连续
间断
两侧均有定义
端点处不考虑间断
推论端点处也不考虑极值
第一类间断点
跳跃间断点
左右极限不等
可去间断点
无定义点的极限存在
第二类间断点
无穷间断点
震荡间断点
函数F（x）等于极限G（x，n）
n是变量
根据x的取值来画分段函数
数列的极限
定义及使用
有界性
An与An+1的关系
若不存在单调性则不可用
定义法进行求解
保号性
脱帽法（脱掉极限的帽子）
带帽法（带上极限的帽子）
收敛的充要条件
所有子列均收敛于同一个数
存在性与计算
归结原则的使用（变量连续化）
连续函数→离散数列
前提是连续函数极限存在
求数列的函数极限可转化为求函数的极限
直接计算法
恒等变形
结合题意与问题进行化简
定义法（先斩后奏)
解出来a
解不出来设未知a
|x-a|→0
单调有界准则
证什么
证单调
Xn与Xn+1的大小关系
证有界
|Xn|=<M
怎么证
构造函数
用已知不等式
基本不等式
题设给出的条件
区间列
例2.17
将角度转化为tanx进行求解
方程列
例2.16
进行做差计算
夹逼准则
对数列极限进行放缩
取极限
无穷项相加
有限项相加
前提：有限项均大于等于0
两类
有限个数
无限个数
根据题设条件
主要是寻求未知数的上下界，使其上下界趋向于同一个数
数列中含有求和符号多考虑夹逼准则
综合题
用导数
用积分
用中值定理
用方程
用区间
用极限
函数
注意⚠️
弄明白n 和x 的关系
